数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

在中考中，动态几何多形式变化问题命题形式主要为解答题，包括点动和线动问题的综合，点动和面动问题的综合，线动和面动问题的综合等。

在中考压轴题中，动态几何多形式变化问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。

原创模拟预测题1. 如图，在抛物线中， 抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：。

（1）求m的值；

（2）动点P从B点出发，沿x轴反方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的，求此时点P的坐标。

【答案】解：（1）∵，

∴B（，0）、A（0，2）、E（，1）。

∵CO：OF=2：，

∴CO=﹣m，FO=m，。

∵，

∴。

整理得：m²+m=0。∴m=﹣1或0 。

∵m＜0，∴m=﹣1。

（2）在Rt△ABO中，，

∴∠ABO=30°，AB=2AO=4。

①当∠BPE＞∠APE时，连接A₁B，则对折后如图1，A₁为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分。

③当∠BPE＜∠APE时．则对折后如图2，A₁为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分。

∵E为AB中点，∴S_△AEP=S_△BEP=S_△ABP。

∵S_△EHP=S_△ABP，∴S_△EBH=S_△EHP=₌S_△ABP。

∴BH=HP，EH=HA₁=1。

又∵BE=EA=2，∴EHAP。∴AP=2。

在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2，

∴∠APB=90°。∴BP=。∴点P的坐标为（）。

综上所述，点P的坐标为（）或（）。

【考点】二次函数综合题，折叠和单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的判定和性质，二次函数的性质，折叠的性质，分类思想和转换思想的应用。

原创模拟预测题2. 如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．

（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出AE和FG的长度．

（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值（如图3）．

（3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．

【解析】

由AB=BE，BM⊥AE，∴．∴．由△BEM∽△FEB，，∴FG=10．     ..3分

 （2）当0≤x≤4时，；当4＜x≤10时，y=－2x+24，当y=10时，x=7或．      .6分

考点：1.勾股定理；2.相似三角形的判定与性质；3.分段函数.

 

原创模拟预测题3. 正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF.

（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：　    　；

（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心,逆时针旋转90⁰，得到线段FQ，连接EQ，请猜想EF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出EF、EQ、BP三者之间的数量关系： 　   　.

解：（1）垂直且相等。

（2）EF、EQ、BP三者之间的数量关系为：。

证明如下：

如图，取BC的中点G，连接FG，

（3）补图如下，F、EQ、BP三者之间的数量关系为：。

【解析】

原创模拟预测题4. 如图（1）在Rt△ACB中，∠C=90°AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm／s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm／s;连接PQ。若设运动的时间为t(s)(0＜t＜2).根据以上信息，解答下列问题：

（1）当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

（2）设四边形PQCB的面积为y（），直接写出y与t之间的函数关系式；

（3）在点P、点Q的移动过程中，如果将△APQ沿其一边所在直线翻折，翻折后的三角形与△APQ组成一个四边形，那么是否存在某一时刻t，使组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

图（1）                  备用图                  备用图

3．

------------2分

--------------4分

-------------------5分

（2）                 -------------------------6分

---------------8分

-------------10分

③当沿AQ翻折时，PQ=AP，过P点作PH⊥AC于H，则点H必为AQ的中点，

∴Rt△AHP∽Rt△ACB，∴即，解得：＞2（不合题意应舍去）

综上所述，当时，所形成的四边形为菱形.-----------------------12分

【解析】略

 

原创模拟预测题5. 已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=90⁰，NG=6，MG=，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上。如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ。当点G到达线段AE上时，△GMN和点P同时停止运动。设运动时间为t秒，解答问题：

（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；

（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。

【答案】解：（1）∵∠NGM=90⁰，NG=6，MG=，

∴由勾股定理，得NM=12。

当点G在线段AE上时，如图，

此时，GG′=MN=12。

∵△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，

∴t=12秒。

（2）存在。

    由∠NGM=90⁰，NG=6，MG=，得∠NMG=30⁰，

由矩形ABCD中，AB=12，BE=，得AE=24，∠AEB=30⁰。

∴AE∥GM。

由（1）知，当0＜t≤12时，线段GN与线段AE相交，

 

②若∠AQP=90⁰，如图2，过点Q作QH⊥BC于点H，交AD于点I。

根据题意，知AP=2 t ，EN=t，

由①知，。

在△APQ中，PQ=，AQ=

由，得，解得。

∵IH=AB=12，

∴，解得。

∴，∴当时，△APQ是直角三角形。

综上所述，存在或，使△APQ是直角三角形。

【考点】单动点和面动问题，勾股定理，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形的判定，分类思想的应用。

【分析】（1）由勾股定理，求出MN的长，点Q运动到AE上时的距离MN的长，从而除以速度即得t的值。

   （2）分∠APQ=90⁰，和∠AQP=90⁰两种情况讨论即可。

原创模拟预测题6. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=60°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S₁．

（1）求证：∠APE=∠CFP；

（2）设四边形CMPF的面积为S₂，CF=x，．

①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；

②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．

【答案】解：（1）∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形。∴∠BAC=∠ACB=60°。

∴∠CFP+∠FPC=180°－60°=120°。

又∵∠EPF=60°，∴∠APE+∠FPC=180°－60°=120°。

∴∠APE=∠CFP。

（2）①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=60°，∴△APE∽△CPF，∴。

     ∵菱形ABCD的边长为4，△ABC是等边三角形，∴AC=4。

又∵P为菱形的对称中心，∴AP=CP=2。

∴，即。

如图，过点P作PH⊥BC于点H，PG⊥AB于点G，

∵AP=CP=2，∠GAP=∠HCP=60°，且PH=PG=。

∴，，。

②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，

则EB=BF，即AE=FC，∴=x，解得x=2，

代入，得。

【考点】单动点问题，菱形的性质，轴对称和中心对称的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值，转换思想的应用。

原创模拟预测题7. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．

（1）求点A的坐标和∠AOB的度数；

（2）若将抛物线向右平移4个单位，再向上平移2个单位，再向上翻转，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；

（3）在（2）的情况下，判断点C′是否在抛物线上，请说明理由；

【答案】解：（1）∵由得，，

∴抛物线的顶点A的坐标为（﹣2， 2）。

如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，∴∠ADO=90°。

∵点A的坐标为（﹣2， 2），点D的坐标为（﹣2，0），

∴OD=AD=2。∴∠AOB=45°。

（3）点C′不在抛物线上。理由如下：

如图，过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，

∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，∴∠COH=∠C′OG。

∵CE∥OH，∴∠OCE=∠C′OG。

又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，∴△CEO≌△C′GO。∴OG=4，C′G=2。

∴点C′的坐标为（﹣4，﹣2）。

把x=﹣4代入抛物线得y=0。

∴点C′不在抛物线上。

【考点】二次函数综合题，平移、翻折和单动点问题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理。