特殊平行四边形（第5课时）

正方形

一、教学目的

1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．  

二、重点、难点

1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．  

2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．    

三、例题的意图分析

本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目．其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：

①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？

②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？

③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？

④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？

⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？

 

四、课堂引入

1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．

学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？

正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意： 

（1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）

（2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）

2．【问题】正方形有什么性质？

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

 

五、例习题分析

例1（教材P111的例4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．

求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．

证明：∵　 四边形ABCD是正方形，

∴　 AC=BD， AC⊥BD，

AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．

∴　△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，

并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

 

  例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：OE=OF．

    分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．

    证明：∵  四边形ABCD是正方形，

∴   ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．

又   DG⊥AE， ∴  ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．

∴   ∠EAO=∠FDO． 

∴   △AEO ≌△DFO．

∴   OE=OF．

 

 例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

求证：四边形PQMN是正方形．

分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．

证明：∵　 PN⊥l1，QM⊥l1，

∴   PN∥QM，∠PNM=90°．

∵　 PQ∥NM，

∴　 四边形PQMN是矩形． 

∵   四边形ABCD是正方形

∴　 ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．

∴　 ∠1+∠2=90°．

又　 ∠3+∠2=90°，  ∴　 ∠1=∠3．

∴   △ABM≌△DAN．

∴   AM=DN．  同理  AN=DP．

∴   AM+AN=DN+DP

即   MN=PN．

∴　 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

 

 

六、随堂练习

1．正方形的四条边____  __，四个角___  ____，两条对角线____   ____．

2．下列说法是否正确，并说明理由．

①对角线相等的菱形是正方形；（   ）

②对角线互相垂直的矩形是正方形；（   ）

③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（   ）

④四条边都相等的四边形是正方形；（   ）

⑤四个角相等的四边形是正方形．（   ）

 

1． 已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别

为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．

求证：∠AFE＝∠AEF．

 

4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，

求∠EAD与∠ECD的度数．

 

七、课后练习

1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．

求证：EA⊥AF．

 

2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．

 

 

3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．