课题  28.2  解直角三角形（一）

 

一、教学目标

 1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

 2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

 3.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

 二、教学重点、难点

 1．重点：直角三角形的解法．

 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

 三、教学步骤

 (一)复习引入 

 

1．在三角形中共有几个元素？

 

2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

(1)边角之间关系

如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.

(2)三边之间关系

 a2  +b2  =c2 (勾股定理) 

 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．

 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．

（二）教学过程

 1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．

 

2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．

 

3．例题

 

例  1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，

a=，解这个三角形．

 

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．

 

解  ∵tanA===

∴ 

∴ 

∴C=2b=

例  2在Rt△ABC中， ∠B =35，b=20，解这个三角形．

 引导学生思考分析完成后，让学生独立完成

 在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．

     

     

     

完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”

 

答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底

注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少差异，这都是正常的。 

4．巩固练习

 P91

说明：解直角三角形计算上比较繁锁，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．

 (四)总结与扩展

1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．

2．出示图表，请学生完成

	a	b	c	A	B
1	√	√
2	√		√
3	√	b=a•cotA		√
4	√	b=a•tanB			√
5		√	√
6	a=b•tanA	√		√
7	a=b•cotB	√			√
8	a=c•sinA	b=c•co, sA	√	√
9	a=c•cosB	b=c•sinB	√		√
10	不可求	不可求	不可求	√	√

注：上表中“√”表示已知。

 

 

四、布置作业

 

 

 

课题  28.2 解直角三角形（二）

 

一、教学目标

1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识

二、教学重点、难点

重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

难点：实际问题转化成数学模型

三、教学过程

（一）复习引入

1．直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．

2、在中Rt△ABC中已知a=12  ,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。

（二）实践探索

要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m的梯子，问:

(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) 

(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子 

   引导学生先把实际问题转化成数学模型

然后分析提出的问题是数学模型中的什么量

在这个数学模型中可用学到的什么知识来求

未知量？

    几分钟后，让一个完成较好的同学示范。

 

（三）教学互动

例3  2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)

分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点.

如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船

观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出(即)

解:在上图中，FQ是⊙O的切线，是直角三角形， 

弧PQ的长为 

由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离

P点约2 009. 6 km. 

（四）巩固再现

P93 1,P96 1

四、布置作业

P96  2,3

 

课题   28.2 解直角三角形（三）

一、教学目标

1、使学生了解什么是仰角和俯角

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．

3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题．

二、教学重点、难点

重点：用三角函数有关知识解决观测问题

难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型

三、教学过程

（一）复习引入

     平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？

（三种，重叠、向上和向下）

结合示意图给出仰角和俯角的概念

（二）教学互动

例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?

分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.

解:如图, ，,

答:这栋楼高约为277.1m.

（三）巩固再现

1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．

2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．

3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角。已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。

解：在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，我们可以分别求出： 

（米）

（米）

（米）

舰艇的速度为（米/分）。设我军火力射程为米，现在需算出舰艇从D到E的时间（分钟） 

我军在12.5分钟之后开始还击，也就是10时17分30秒。

4、小结：谈谈本节课你的收获是什么？

四、布置作业

P101 7、8

 

 

 

 

 

 

课题   28.2解直角三角形（四）

 

一、教学目标

1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．

3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．

二、教学重点、难点

重点：用三角函数有关知识解决方位角问题

难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型

三、教学过程

（一）复习引入

1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。

2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线

（二）教学互动

例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，解:如图, 在中,

     

     

在中, .

,

因此.当海轮到达位于灯塔P的南偏东340方向时，它距离灯塔P大约130.23海里.海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?

（三）巩固再现

1、P95 1

2、上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．

                                         

3、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？

 

 

四、布置作业

 

 

课题   28.2 解直角三角形（五）

一、教学目标

1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．

3、培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．

二、教学重点、难点

<, span style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体">重点：解决有关坡度的实际问题．

难点：理解坡度的有关术语．

三、教学过程

（一）复习引入

1．讲评作业：将作业中学生普遍出现问题之处作一讲评．

2．创设情境，导入新课．

例  同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33

 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．

     同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．

（二）教学互动

通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义．

1． 

坡度与坡角

         

 

结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5

把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．

 引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？

 答：i＝＝tan

 这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．

 

练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；

 

______，坡角______度．

 为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：

 (1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．

 (2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．

 答：(1)

 

 如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，

因为 tan＝，AB不变，tan随BC增大而减小

（2）与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα

  也随之增大，因为tan=不变时，tan随AB的增大而增大

2．讲授新课

   引导学生回头分析引题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．

     以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．

     坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．

 解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，

 

∴AE=3BE=3×23=69(m)．

 FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．

 ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．

  因为斜坡AB的坡度i＝tan＝≈0.3333， 

α≈18°26′

 答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．

其实这是旧人教版的一个例题，由于新版里这样的内容和题目并不少，但是对于题目里用的术语新版少提，基于学生的接受情况应插讲这一内容。

 （三）巩固再现

1、P95  2

2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：

 ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；

 ②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．

 

四、布置作业