§3.3.2  均匀随机数的产生

一、教材分析

    本节在学生已经掌握几何概型的基础上,来学习解决几何概型问题的又一方法,本节课的教学对全面系统地理解掌握概率知识,对于培养学生自觉动手、动脑的习惯,对于学生辩证思想的进一步形成,具有良好的作用.

    通过对本节例题的模拟试验,认识用计算机模拟试验解决概率问题的方法,体会到用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.

二、教学目标

1、知识与技能：

（1）了解均匀随机数的概念；

（2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；

（3）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．

2、过程与方法：

（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；

（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、情感态度与价值观：

本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

三、重点难点

教学重点：掌握［0,1］上均匀随机数的产生及［a,b］上均匀随机数的产生.学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率.

教学难点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中.

四、课时安排

    1课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路1

    在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能够我们如何产生随机数？又如何利用随机数来模拟几何概型的试验呢？引出本节课题：均匀随机数的产生.

思路2

    复习提问：（1）什么是几何概型？（2）几何概型的概率公式是怎样的？（3）几何概型的特点是什么？这节课我们接着学习下面的内容,均匀随机数的产生.

 

（二）推进新课、新知探究、提出问题

(1)请说出古典概型的概念、特点和概率的计算公式？

(2)请说出几何概型的概念、特点和概率的计算公式？

(3)给出一个古典概型的问题,我们除了用概率的计算公式计算概率外,还可用什么方法得到概率？对于几何概型我们是否也能有同样的处理方法呢？

(4)请你根据整数值随机数的产生,用计算器模拟产生［0,1］上的均匀随机数.

(5)请你根据整数值随机数的产生,用计算机模拟产生［0,1］上的均匀随机数.

(6)［a,b］上均匀随机数的产生.

活动：学生回顾所学知识,相互交流,在教师的指导下,类比前面的试验,一一作出回答,教师及时提示引导.

讨论结果：

(1)在一个试验中如果

a.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

b.每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability）,简称古典概型.

古典概型计算任何事件的概率计算公式为：P（A）=.

(2)对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.

几何概型的基本特点：

a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

b.每个基本事件出现的可能性相等.

几何概型的概率公式：P（A）=.

(3)我们可以用计算机或计算器模拟试验产生整数值随机数来近似地得到所求事件的概率,对于几何概型应当也可.

(4)我们常用的是［0,1］上的均匀随机数.可以利用计算器来产生0—1之间的均匀随机数(实数),方法如下：

试验的结果是区间［0,1］内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,就可以用上面的方法产生的0—1之间的均匀随机数进行随机模拟.

(5)a.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.

b.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50, B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.

(6)［a,b］上均匀随机数的产生：

利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数X=RAND,

然后利用伸缩和平移变换,X=X*(b-a)+a就可以得到［a,b］上的均匀随机数,试验结果是［a,b］内任何一实数,并且是等可能的.

这样我们就可以通过计算机或计算器产生的均匀随机数,用随机模拟的方法估计事件的概率.

 

（三）应用示例

思路1

例1  假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

活动：用计算机产生随机数模拟试验,我们可以利用计算机产生0—1之间的均匀随机数,利用计算机产生B是0—1的均匀随机数,则送报人送报到家的时间为B+6.5,利用计算机产生A是0—1的均匀随机数,则父亲离家的时间为A+7,如果A+7＞B+6.5,即A＞B-0.5时,事件E={父亲离家前能得到报纸}发生.也可用几何概率的计算公式计算.

解法一：1.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.

2.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50,B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.用A列的数加7表示父亲离开家的时间,B列的数加6.5表示报纸到达的时间.这样我们相当于做了50次随机试验.

3.如果A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,则表示父亲在离开家前能得到报纸.

4.选定D1格,键入“=A1-B1”；再选定D1,按Ctrl+C,选定D2—D50,按Ctrl+V.

5.选定E1格,键入频数函数“=FREQUENCY（D1：D50,-0.5）”,按Enter键,此数是统计D列中,比-0.5小的数的个数,即父亲在离开家前不能得到报纸的频数.

6.选定F1格,键入“=1-E1/50”,按Enter键,此数是表示统计50次试验中,父亲在离开家前能得到报纸的频率.

解法二：以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离家时间,建立平面直角坐标系,父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是下图：

    由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以P(A)=.

 

例2  在如下图的正方形中随机撒一把豆子,用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值.

解法1：随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即

.

假设正方形的边长为2,则.

由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以π≈×4,

这样就得到了π的近似值.

解法2：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a1=RAND（）,b1=RAND（）.

（2）经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2.

（3）数出落在圆x2+y2=1内的点（a,b）的个数N1,计算π=（N代表落在正方形中的点（a,b）的个数）.

点评：可以发现,随着试验次数的增加,得到圆周率的近似值的精确度会越来越高,利用几何概型并通过随机模拟的方法可以近似计算不规则图形的面积.

 

例3  利用随机模拟方法计算下图中阴影部分（y=1和y=x2所围成的部分）的面积.

分析：师生共同讨论,在坐标系中画出矩形（x=1,x=-1,y=1和y=-1所围成的部分）,利用模拟的方法根据落在阴影部分的“豆子”数和落在矩形的“豆子”数的比值,等于阴影面积与矩形面积的比值.

解：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a1=RAND（）,b=RAND（）.

（2）进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2.

（3）数出落在阴影内（即满足0<b<1且b-a2>0）的样本点数N1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.

例如做1 000次试验,即N=1 000,模拟得到N1=698,所以S≈=1.396.

（N代表落在矩形中的点（a,b）的个数）.

思路2

例1  取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？

分析：在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍［0,3］内的任意数,并且每一个实数被取到都是等可能的.因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应［0,3］上的均匀随机数,其中取得的［1,2］内的随机数就表示剪断位置与端点距离在［1,2］内,也就是剪得两段长都不小于1 m.这样取得的［1,2］内的随机数个数与［0,3］内的个数之比就是事件A发生的概率.

解法一：(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND.

(2)经过伸缩变换,a=a1×3.

(3)统计出［1,2］内随机数的个数N1和［0,3］内随机数的个数N.

(4)计算频率fn(A)=即为概率P(A)的近似值.

解法二：做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度［0,3］(这里3和0重合).转动圆盘记下指针在［1,2］(表示剪断绳子位置在［1,2］范围内)的次数N1及试验总次数N,则fn(A)即为概率P(A)的近似值.

点评：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.解法2用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数不可能很大;解法1用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.

 

例2  利用随机模拟方法计算曲线y=,x=1,x=2和y=0所围成的图形的面积.

活动：在直角坐标系中画出正方形（x=1,x=2,y=0,y=1所围成的部分）,用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值.

解：（1）利用计算器或计算机产生两组0到1区间上的随机数,a1=RAND,b=RAND；

（2）进行平移变换：a=a1+1；（其中a,b分别为随机点的横坐标和纵坐标）

（3）数出落在阴影内的点数N1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.

例如,做1 000次试验,即N=1 000,模拟得到N1=689,

所以=0.689,即S≈0.689.

点评：模拟计算的步骤：

（1）构造图形（作图）；

（2）模拟投点,计算落在阴影部分的点的频率；

（3）利用≈P(A)=算出相应的量.

变式训练

    在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,求这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率.

分析：正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在12 cm长的线段AB上任取一点M,求使得AM的长度介于6 cm与9 cm之间的概率.

解：(1)用计算机产生一组［0,1］内均匀随机数a1=RAND.

(2)经过伸缩变换,a=a1×12得到［0,12］内的均匀随机数.

(3)统计试验总次数N和［6,9］内随机数个数N1.

(4)计算频率.记事件A={面积介于36 cm2与81 cm2之间}={长度介于6 cm与9 cm之间},则P(A)的近似值为fn(A)=.

 

（四）知能训练

    有一个半径为5的圆,现在将一枚半径为1的硬币向圆投去,如果不考虑硬币完全落在圆外的情况,试求硬币完全落入圆内的概率.

解：由题意,如右图,因为硬币完全落在圆外的情况是不考虑的,所以硬币的中心均匀地分布在半径为6的圆O内,且只有中心落入与圆O同心且半径为4的圆内时,硬币才完全落入圆内.

记“硬币完全落入圆内”为事件A,则P(A)=.

答：硬币完全落入圆内的概率为.

 

（五）拓展提升

    如右图,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,

试求：（1）△AOC为钝角三角形的概率；

（2）△AOC为锐角三角形的概率.

解：如右图,由平面几何知识：

当AD⊥OB时,OD=1；

当OA⊥AE时,OE=4,BE=1.

（1）当且仅当点C在线段OD或BE上时,△AOC为钝角三角形,

记“△AOC为钝角三角形”为事件M,则P(M)==0.4,

即△AOC为钝角三角形的概率为0.4.

（2）当且仅当点C在线段DE上时,△AOC为锐角三角形,

记“△AOC为锐角三角形”为事件N,则P(N)==0.6,

即△AOC为锐角三角形的概率为0.6.

 

（六）课堂小结

    均匀随机数在日常生活中有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是：建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量.

（七）作业    课本习题3.3B组题.