| 上传：admin | 审核发布：admin | 更新时间：2015-3-30 10:47:14 | 点击次数：705次 |
云南省师范大学五华区实验中学高中数学 第二章 数列 等比数列教学案 新人教A版必修5
本节内容先由问题生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念，
再由教问题引导学生与等差数列类比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，体会等比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大
量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程.
教学中应充分利用信息和多媒体技术，给学生以较多的感受，激发学生学习的积极性和思维的主动性.
准备丰富的阅读材料，为学生提供自主学习的可能，进而达到更好的理解和巩固课堂所学知识的目的.
教学重点 1.等比数列的概念;
2.等比数列的通项公式.
教学难点 1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系;
2.等比数列与指数函数的关系.
教学目标
1.了解现
实生活中存在着一类特殊的数列;
2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式;
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题;
4.体会等比数列与指数函数的关系.
教学过程
导入新课
问题 现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗？
问题
现实生活中，我们会遇到许多这类的事例.
教问题出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型.
问题 细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？
教问题出示投影胶片1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
问题 这是《庄子·天下篇》中的一个论述，能解释这个论述的含义吗？
问题 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？
问题 介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.
给出计算本利和的公式：
本利和=本金×(1+本金)n，这里n为存期.
问题 合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下面数列：
10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85. ④
问题 回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？
问题 引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系.
引入课题：板书课题 2.4等比数列的概念及通项公式
推进新课
［合作探究］
问题 从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样
特点的数列称之为等比数列，
那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？
回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：
一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.
［教问题精讲］
问题 同学们概括得很好，这就是等比数列(geometric sequence)的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.P.(Geometric Progression).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示(q≠0).
请同学们想一想，为什么q≠0呢？
问题 假设q=0，数列的第二项就应该是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了呢？
问题 对了，问题就出在这里了，所以，必须q≠0.
问题 那么，等比数列的首项能不能为0呢？
问题 是的，等比数列的首项
和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0.
［合作探究］
问题类比等差中项的概念，请同学
们自己给出等比中项的概念.
问题 想一想，这时a、b的符号有什么特点呢？你能用a、b
表示G吗？
问题 观察学生所得到的a、b、G的关系式，并给予肯定.
补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n-k+a n+k=2an.对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？
［合作探究］
探究：
(1)一个数列a1,a2,a3,…,an,
…(a1≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢
？
(2)写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？
(3)任一项an及公比q相同，则这两个数列相同吗？
(4)任意两项am、an相同，这两个数列相同吗？
(5)若两个等比数列相同，需要什么条件？
问题 引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答.
概括总结对上述问题的探究，得出：
(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列.
概括学生对(2)(3)(4)的解答.
(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.
(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同；
(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；
(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.
(探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公
式的推导做准备)
［合作探究］
问题 回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？
［方法引导］
问题 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？
问题 在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法没有涉及不完全归
纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明.
问题 让学生说出公式中首项a1和公比q的限制条件.
［知识拓展］
问题 前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢？
教问题出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.
某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x,本利和为y元.
（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
（2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
问题
前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的.
问题
请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列，并填充下列表格：
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等差数列 |
等比数列 |
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定 义 |
从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数 |
从第二项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数 |
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首项、公差(公比)取值有无限制 |
没有任何限制 |
首项、公比都不能为0 |
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通项公式 |
an=a1+(n-1)d |
an=a1q n-1 |
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相应图象的特点 |
直线y=a1+(x-1)d上孤立的点 |
函数y=a1qx-1图象上孤立的点 |
练习：
1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.
问题 启发、引导学生列方程求未知量.
课堂小结
本节学习了如下内容：
1.等比数列的定义.
2.等比数列的通项公式.
3.等比数列与指数函数的联系.
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