福建省泉州十五中2014高中数学 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题导学案 新人教A版必修5

【学习目标】

1、知识目标：

理解二元一次不等式（组）的定义，能确定二元一次不等式（组）表示的平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题。

2．过程与方法：通过自主学习，合作探究，经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力。

 3、情感目标：

通过解决实际应用中的最优化问题，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，激励学生创新。

【学习重、难点】

重点：理解二元一次不等式（组）表示的平面区域并能画出不等式（组）表示的平面区域，

用图解法解决简单的线性规划问题。

难点：把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域，准确求得线性规划问题的最优解。

【学习过程】

阅读教材第82—91页，回答下列问题：

课前准备

1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，你能类比一元二次不等式的定义得出二元一次不等式的定义吗？

 

2．一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，的解集为                . 那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集如何定义的？二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？

 

新知：

1．二元一次不等式（组）的定义：

（1）含有    个未知数，并且未知数的次数是     的不等式，称为二元一次不等式；

（2）由几个           不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

 

2．二元一次不等式（组）的解集

满足二元一次不等式（组）的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，有序数对可以看成直角坐标系内点的坐标，于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合。

 

 

3．二元一次不等式（组）表示的平面区域

以二元一次不等式的解集所表示的图形为例

如图，在平面直角坐标系中，先画出直线，该直线把平面直角坐标系分成三部分，再取特殊点定平面区域。

因此，在平面直角坐标系中，不等式表示直线        的平面区域；不等式表示直线       的平面区域；直线叫做这两个区域的         。

总结：“直线定界，特殊点定域”（特殊点常取（0，0）或（1，0）或（0，1））

4．线性规划的有关概念：

①关于x、y不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称                条件．

②关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做

               函数．

③一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为         

问题．

④满足线性约束条件的解叫        解，由所有可行解组成的集合叫做        域．

使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫线性规划问题的          解．

                                                           作图区

典型例题                                 

例1．画出不等式表示的平面区域 

分析：先画     ___________（用   线表示），     

再取    _______判断区域，即可画出．

 

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用 

“       定界，           定域”的方法. 

 

例2．画出不等式表示的平面区域      

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式

所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式

所表示的平面区域的公共部分.

 

 

 

线性规划在实际中的应用：

例3．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：

设甲、乙两种产品分别生产、件，由已知条件可得二元一次不等式组：

                                                

                                                          

 

作图区

（2）画出不等式组所表示的平面区域：         

 

（3）若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙

产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？

 

 

 

 

 

 

 

 

当堂检测

1.不在表示的平面区域内的点是（    ）

A．（0，0）　　　B．（1，1）　C．（0， 2）　　　Ｄ．（2，0）

2.不等式表示的区域在直线的（    ）

A．右上方     B．右下方     C．左上方      D．左下方

3.目标函数，将其看成直线方程时，的意义是（     ）

A．该直线的横截距                   B．该直线的纵截距

C．该直线的纵截距的一半的相反数     D．该直线的纵截距的两倍的相反数

4. 已知、满足约束条件，则的最小值为（    ）

 A． 6        B．6        C．10        D．10 

5. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，请工人的约束条件是（    ）.

A．   B．   C．    D．

6． 已知点和在直线的两侧，则的取值范围是            .

7. 不等式组表示的平面区域内的整点坐标是                 .

8．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元. 甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h、2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h、1h，若A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h. 如何安排生产可使收入最大？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

拓展提升

1．画出不等式组表示的平面区域  

 

 

2．在如图所示的可行域内，目标函数取得

最小值的最优解有无数个，则的一个可能值是（    ）

 

A. 3   B.3      C. 1     D.1

 

3．已知实数x，y满足x＋2y－3≥0，(y≥0，)则x(y)的最大值为________

 

 

4．已知点P(x，y)的坐标满足条件x≥1，(y≥x，)则x2＋y2的最大值为(　　)

A.      B．8      C．16      D．10

 

 

 

 

 

归纳总结：

1. 二元一次不等式和在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2．判断方法：在此直线的某一侧取一特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域（特殊点常取（0，0）或（1，0）或（0，1），当时，常把原点作为特殊点）

3. 不等式中仅或不包括     ；但含“”“”包括       ； 同侧同号，异侧异号.

4．（1）线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.

（2）线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．

5．简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解.

知识拓展

当时，表示直线上方的区域；

         表示直线下方的区域；

当时，表示直线下方的区域；

         表示直线上方的区域；