高三二轮复习专题  高考中递推公式问题的破解方略  

  东安一中  唐志达 

【解读高考】　

   数列的递推公式可以说是数列问题的核心问题，如果可以由题目条件求得通项公式，可以说数列问题便可迎刃而解，因此求通项公式显得尤为重要，从近两年的高考试题来看，递推公式是高考的重点，其命题特点充分体现了数列中的“小、巧、活”，解答此类问题时应树立转化和化归意识，体现方程思想．预测2015年仍围绕该公式命题，望引起重视．

【学情分析】 利用递推公式求通项公式往往在考试中以小题或者大题的第一问出现，高三第一轮复习结束后，学生知道了部分利用递推公式求通项公式的方法，但是在多次模拟考试中，同学们在这方面的得分并不高，尤其部分基础不好的学生得分几乎为零。很有必要利用些高考真题来突破这一难点。

【一】教学目标

1．知识与技能

了解递推公式的实际背景，掌握由数列递推公式求数列通项公式的方法．

2．过程与方法

借助最近几年的高考真题，探索由数列递推公式求数列通项公式的方法．

3．情感、态度与价值观

在解决典型高考题的过程中，体会由数列递推公式求数列通项公式的方法，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．

【二】教学重点、难点

1．教学重点：掌握由数列递推公式求数列通项公式的方法．

2．教学难点：掌握由数列递推公式求数列通项公式的方法．

【三】教学过程

一【重点方法再回顾】

1等差数列，等比数列的通项公式是？

2求数列通项公式常见的方法有哪些？

二【典例典评】

题型一　由相邻两项关系式求通项公式

例1（山东高考题改编）已知正项数列{a_n}满足a₁＝1，(n＋2)a－(n＋1)a＋a_na_n＋1＝0，则它的通项公式(　　)

A．a_n＝  B．a_n＝     C．a_n＝      D．a_n＝n

【学情预设：学生可能对条件结构特征把握不好，从而无法下手】

师：大家观察下题目中给出的条件共多少项？有什么特点？引导学生分析：二次三项齐次方程，如何来解决？答：因式分解   

【设计意图：用一个看似无法下手的实例，为引出由数列递推公式求数列通项公式做准备；同时通过初中学习的因式分解让学生感受数学的魅力，激发学生学习新知的兴趣和欲望】

 

变式1：（2013·江西高考理科·Ｔ17）正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：

求数列{a_n}的通项公式a_n.

【课堂操作：学生上讲台展示】

 

题型二　已知多项间的递推关系求通项公式

例2　已知数列{a_n}满足a₁＝，a_na_n－1＝a_n－1－a_n，则数列{a_n}的通项公式为________．

【学情预设：学生可能对条件无法下手】

师：大家观察下题目中给出的条件有什么特点？引导学生分析：两边同除

以a_na_n－1，

【课堂操作：学生上讲台边讲解边板书，探求多种方法解决问题】

变式2：已知数列{a_n}满足a₁＝，a_na_n－1=2a_n－1－3a_n，则数列{a_n}的通项公式为________

【课堂操作：学生上讲台当堂做题，其他同学分组讨论】

【设计意图：用一个看似较难的实例，为由数列递推公式求数列通项公式时，常常化不熟悉的数列为熟悉的数列来解决】

 

题型三　构造法求通项公式

例3　(1)已知a₁＝1，a_n＋1＝2a_n＋1，求a_n；(2)已知a₁＝1，a_n＋1＝，求a_n.

【课堂操作：学生分组讨论，然后上讲台边讲解边板书】

师生思维升华：在形如“a_n＋1＝pa_n＋q”的数列中，通常用构造法求解，构造时可先设(a_n＋1＋x)＝p(a_n＋x)，再由等量关系求得x，实现构造．

 

三【挑战高考真题】

1．(2014·课标全国Ⅱ)数列{a_n}满足a_n＋1＝，a₈＝2，则a₁＝________

2.（2013·湖南高考文科·Ｔ19）设为数列{}的前项和，已知，2，N求，，并求数列｛｝的通项公式；

 

3．(2014·大纲全国)数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝2，a_n＋2＝2a_n＋1－a_n＋2.

(1)设b_n＝a_n＋1－a_n，证明{b_n}是等差数列；(2)求{a_n}的通项公式．

【课堂操作：学生上讲台当堂做题，其他同学分组讨论】

【设计意图：用一些看似较难的高考真题来激发学生学习兴趣和欲望，从而提高学生的学习信心】

 

 

四【课堂总结】

1. 谈一谈，通过本节学习，学习了那些知识？

2. 归纳一下有那些思想方法？

五【课后跟踪训练】

（2013·广东高考理科·Ｔ19）设数列｛｝的前n项和为，已知，.

（1）求的值；（2）求数列｛｝的通项公式；

 

 

六【新题预测】．对于正项数列{a_n}，定义H_n＝为{a_n}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H_n＝，则数列{a_n}的通项公式为________

【四】我的困惑（学生）

 

 

【五】教学反思