style="margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:宋体;line-height:150%;tab-stops:148.85pt;layout-grid-mode: char">所以b_n－1＝(－)×()^n－1，

即b_n＝1－×()^n－1＝，

故a_n＝5ⁿ－3×2^n－1.

5．数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_nS_n－1＝a_n(n≥2，n∈N^*)，且a₁＝1，则数列{a_n}的通项公式为________．

答案　a_n＝

解析　当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1，

则2S_nS_n－1＝S_n－S_n－1，

即－＝－2，

又＝＝1，

故{}是首项为1，公差为－2的等差数列，

则＝1＋(n－1)(－2)＝－2n＋3，

所以S_n＝.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝－

＝，

验证a₁＝1不满足，

故所求通项公式a_n＝

6．设函数f(x)＝a₁＋a₂x＋a₃x²＋…＋a_nx^n－1，f(0)＝，数列{a_n}满足f(1)＝n²a_n(n∈N^*)，则数列{a_n}的通项a_n＝________.

答案　

解析　由f(0)＝，得a₁＝，

由f(1)＝n²a_n(n∈N^*)，

得S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n＝n²a_n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝n²a_n－(n－1)²a_n－1，

整理得＝，

所以a_n＝a₁×××…×

＝××××…×

＝，

显然a₁＝也符合．

即{a_n}的通项为a_n =.

7．若f(n)为n²＋1(n∈N^*)的各位数字之和，如6²＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f₁(n)＝f(n)，f₂(n)＝f(f₁(n))，…，f_k＋1(n)＝f(f_k(n))，k∈N^*，则f_{2 014}(4)＝________.

答案　8

解析　因为4²＋1＝17，f(4)＝1＋7＝8，

则f₁(4)＝f(4)＝8，f₂(4)＝f(f₁(4))＝f(8)＝11，

f₃(4)＝f(f₂(4))＝f(11)＝5，

f₄(4)＝f(f₃(4))＝f(5)＝8，…，

所以f_k＋1(n)＝f(f_k(n))为周期数列．

可得f_{2 014}(4)＝8.

8．数列{a_n}，{b_n}满足a_n＝ln n，b_n＝，则数列{a_n·b_n}中第________项最大．

答案　3

解析　设函数f(x)＝ln x，则f′(x)＝，

令f′(x)＝0，得x＝e.

分析知函数f(x)在(0，e]上是增函数，在[e，＋∞)上是减函数，

又f(2)＝ln 2＝ln <f(3)＝ln 3＝ln ，

所以a_n·b_n＝ln n(n∈N^*)在n＝3时取得最大值，

即数列{a_n·b_n}中第3项最大．

9已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a≠0，a≠1)．

(1)求{an}的通项公式；(2)设b_n＝a＋S_n·a_n，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；

　(1)当n＝1时，S₁＝a(S₁－a₁＋1)，

得a₁＝a.

当n≥2时，S_n＝a(S_n－a_n＋1)，

S_n－1＝a(S_n－1－a_n－1＋1)，

两式相减得a_n＝a·a_n－1，得＝a.

即{a_n}是等比数列．

所以a_n＝a·a^n－1＝aⁿ.

(2)由(1)知b_n＝(aⁿ)²＋aⁿ，

b_n＝，

若{b_n}为等比数列，则有b＝b₁b₃，

而b₁＝2a²，b₂＝a³(2a＋1)，b₃＝a⁴(2a²＋a＋1)，

故[a³(2a＋1)]²＝2a²·a⁴(2a²＋a＋1)，解得a＝，

再将a＝代入b_n，得b_n＝ⁿ，结论成立，

所以a＝.

 

 

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高考中递推公式问题的破解方略   跟踪训练

1．在数列{a_n}中，a₁＝1，a_na_n－1＝a_n－1＋(－1)ⁿ(n≥2，n∈N^*)，则的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

2．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜．用a_n，b_n分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的人数，如果a₁＝300，则a₁₀为(　　)

A．350  B．300  C．400  D．450

3．已知f(x)＝log₂＋1，a_n＝f()＋f()＋…＋f()，n为正整数，则a_{2 015}等于(　　)

A．2 014  B．2 009  C．1 005  D．1 006

4．在正项数列{a_n}中，a₁＝2，a_n＋1＝2a_n＋3×5ⁿ，则数列{a_n}的通项公式为________．

5．数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_nS_n－1＝a_n(n≥2，n∈N^*)，且a₁＝1，则数列{a_n}的通项公式为________．

 

6．设函数f(x)＝a₁＋a₂x＋a₃x²＋…＋a_nx^n－1，f(0)＝，数列{a_n}满足f(1)＝n²a_n(n∈N^*)，则数列{a_n}的通项a_n＝________.

7．若f(n)为n²＋1(n∈N^*)的各位数字之和，如6²＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f₁(n)＝f(n)，f₂(n)＝f(f₁(n))，…，f_k＋1(n)＝f(f_k(n))，k∈N^*，则f_{2 014}(4)＝________.

8．数列{a_n}，{b_n}满足a_n＝ln n，b_n＝，则数列{a_n·b_n}中第________项最大．

9已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a≠0，a≠1)．

(1)求{an}的通项公式；(2)设b_n＝a＋S_n·a_n，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；

 

 

 

 

 

 

 

 

1．在数列{a_n}中，a₁＝1，a_na_n－1＝a_n－1＋(－1)ⁿ(n≥2，n∈N^*)，则的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　由已知得a₂＝1＋(－1)²＝2，

∴a₃·a₂＝a₂＋(－1)³，∴a₃＝，

∴a₄＝＋(－1)⁴，∴a₄＝3，

∴3a₅＝3＋(－1)⁵，∴a₅＝，

∴＝×＝.

2．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜．用a_n，b_n分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的人数，如果a₁＝300，则a₁₀为(　　)

A．350  B．300  C．400  D．450

答案　B

解析　依题意，得消去b_n，

得a_n＋1＝a_n＋150.

由a₁＝300，得a₂＝300；

由a₂＝300，得a₃＝300；

……

从而得a₁₀＝300，故选B.

3．已知f(x)＝log₂＋1，a_n＝f()＋f()＋…＋f()，n为正整数，则a_{2 015}等于(　　)

A．2 014  B．2 009  C．1 005  D．1 006

答案　A

解析　因为f(x)＝log₂＋1，

所以f(x)＋f(1－x)＝log₂＋1＋log₂＋1＝2.

所以f()＋f()＝2，

f()＋f()＝2，…，

f()＋f()＝2，

由倒序相加，得2a_n＝2(n－1)，a_n＝n－1，

所以a_{2 015}＝2 015－1＝2 014，故选A.

4．在正项数列{a_n}中，a₁＝2，a_n＋1＝2a_n＋3×5ⁿ，则数列{a_n}的通项公式为________．

答案　a_n＝5ⁿ－3×2^n－1

解析　在递推公式a_n＋1＝2a_n＋3×5ⁿ的两边同时除以5^n＋1，

得＝×＋，①

令＝b_n，则①式变为b_n＋1＝b_n＋，

即b_n＋1－1＝(b_n－1)，

所以数列{b_n－1}是等比数列，

其首项为b₁－1＝－1＝－，

公比为.