38 数列·等差数列

重要基础知识

1、数列

⑴数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫数列；

⑵数列的通项公式：如果数列 的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的通项公式。

⑶数列可以看成定义域是正整数或它的有限子集 的函数 ，当自变量 是从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值 

⑷数列的分类：按项数多少分：； 按项之间的大小分：.

⑸数列的前项记为，即，因此 

⑹若数列 满足 ，则是数列的最小（大）项.

⑺周期数列：如果数列满足：对一切 有 ，则该数列为周期数列。 为它的一个周期。

2、等差数列

⑴等差数列的定义：如果数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，常用字母 表示。即 ，则为等差数列。

⑵等差数列通项公式：           ,               .

⑶等差数列的前 项和公式：              =               .

⑷等差数列的常用性质（其中 ）

①若 ，则 

②若分别为等差数列，前项和，则 ；

③ .成等差数列；

⑸等差中项：若 成等差数列，则称为与的等差中项，且 

⑹等差数列的判断方法：

①； 

②；

③ ；

④.

⑺等差数列前项和的最值：

①公差，为递减数列，有最大值，最大值就是前面正的项加起来;

②公差，为递增数列，有最小值，最小值就是前面负的项加起来.

过关测试题

(满分100分，时量100分钟)

一、填空题：（每题4分，共60分）

1、数列的通项公式 

2、数列的通项公式

3、数列前项和 ，则

4、在数列中， ，当时 ，恒有 ，则

5、若数列{a_n}的通项公式为，则

6、已知{a_n}为等差数列, a₁+ a₃+ a₅=105, a₂+ a₄+ a₆=99,则a₂₀=_______.

7、在等差数列{a_n}中, S₅=25, a₂=3,则a₇=_______.

8、在等差数列{a_n}中,S₂=4, S₄=20,则公差d=_____.

9、在等差数列{a_n}中,公差d≠0, a₁=9d,若a_k是a₁与a_2k的等比中项,则k=_______.

10、在数列中，,对任何都成立，则

11、数列满足 ，若 ，则 

12、在等差数列中，若 ，则 

13、已知等差数列满足 ，且前 项和有最大值，则使得 的 的最大值是 

14、在等差数列中， ， 则 

15、已知等差数列和前项和之比则 

二、解答题（每题10分，共40分）

16、已知等差数列{a_n}中, a₃a₇=, a₄+ a₆=0,求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n._.

 

 

 

 

 

 

 

17、已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和, a₁=25, a₄=16.

（1）当  n为何值时, S_n取得最大值？并求出这个最大值;

（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n。

 

 

 

 

 

18、设a₁, d为实数,首项为a_1,公差为d的 等差数列{a_n}的前n项和S_n 满足S₅S₆+15=0。

(1)若S₅=5,求S₆及a₁的值;

(2)求d的取值的范围。

 

 

 

 

 

 

 

 

19、若数列 满足 ，即 ，就称数列为对称数列。

⑴若数列是项数为7的对称数列， 成等差数列，，请列举出该数列；

⑵已知是项数为 的对称数列，且 是首项为50，公差为 的等差数列，数列 的前 项和为，求的最大值。