《命题、定理、证明》习题

1．命题：（1）若│x│=│y│，则x=y；（2）大于直角的角是钝角；（3）一个角的两边与另一个角的两边平行，则这两个角相等或互补，假命题是_______．

2．举出反例说明下列命题是假命题．

    （1）大于90°的角是钝角________________________________________________．

    （2）相等的角是对顶角__________________________________________________．

3．（经典题）如图1所示，工人师傅在加工零件时，发现AB∥CD，∠A=40°，∠E=80°，小芳用学过的知识，得出∠C=______．

       图1              图2                 图3              图4

4．如图2所示，若AB∥CD，∠1=∠2，∠1=55°，则∠3=______．

5．如图3所示，AD∥EF∥BC，AC平分∠BCD，图中和α相等的角有（  ）

    A．2个      B．3个      C．4个      D．5个

6．（经典题）如图4所示，两平面镜α、β，的夹角60°，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的反射光线O′B平行于α，则∠1的度数为（  ）

    A．60°      B．45°     C．30°      D．75°

7．（原创题）如图所示，L₁∥L₂，CD⊥L₂垂足为C，AO与L₁交于B，与CD交于点O，若∠AOD=130°，求∠1的度数．

8．（教材变式题）如图，已知B，E分别是线段AC，DF上的点，AF交BD于G，交EC于H，∠1=∠2，∠D=∠C，求证：DF∥AC．

9．（经典题）如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，求∠BEG度数．

10．（探索题）如图所示，若AB∥CD，在下列四种情况下探索∠APC与∠PAB，∠PCD三者等量关系，并选择图（3）进行说明．

答案：1．（1），（2）

    2．（1）210°，不是钝角

    （2）长方形相邻两个角为90°，但不是对顶角．

    3．40°（点拨：∠E=∠C+∠A）

    4．70°（点拨：∠1=55°，∴∠1+∠2=110°，而∠3+110°=180°）

    5．C（点拨：∠FGC=∠FCA=∠BCA=∠DAC）

    6．A（点拨：a∥O′B，∴∠1=180°-60×2=60°）

    7．过O作OE∥L₁，∴∠1=∠AOE，而∠AOE=130°-90°=40°，∴∠1=40°．

    思路点拨：作辅助线是关键．

    8．∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴BD∥EC

    ∴∠DBC+∠C+180°，又∵∠D=∠C

    ∵∠DBC+∠D=180°，∴DF∥AC

    思路点拨：由∠1=∠2可得DB∥EC，∴∠C+∠DBC=180°，∠C=∠D，∴∠DBC+∠D=180°，得DE∥AC．

    9．∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEC，而EF是折痕

    ∴∠FEG=∠FEC，又∵∠EFG=58°

    ∴∠BEG=180°-2∠FEC=180°-2×58°=64°

    解题规律：所求角是平角减去两个对折重合的角．

    10．（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°

    （2）∠APC=∠PAB+∠PCD

    （3）∠APC=∠PCD-∠PAB

    （4）∠APC=∠PAB-∠PCD

    选（3）说明，设PC交AB于K，则∠PKB=∠PCD而∠PKB=∠APC+∠PAB

    所以∠APC+∠PAB=∠PCD

    即∠APC=∠PCD-∠PAB．

    解题规律：过P作PM∥AB或PM∥CD，运用平行线性质加以探索.