勾股定理的逆定理

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为

(　　)

A.90°　　      B.60°　        C.45°　        D.30°

2.如图所示,在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成直角三角形三边的线段是(　　)

A.CD,EF,GH

B.AB,EF,GH

C.AB,CD,GH

D.AB,CD,EF

3.将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形(　　)

A.仍是直角三角形                B.可能是锐角三角形

C.可能是钝角三角形          D.不可能是直角三角形

二、填空题(每小题4分,共12分)

4.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a²+b²=c²”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式:　　　　　　　　　　.

5.观察以下几组勾股数,并寻找规律:

①3,4,5;

②5,12,13;

③7,24,25;

④9,40,41;…

请你写出有以上规律的第⑤组勾股数:　　　　.

6.若a,b,c是直角三角形的三条边长,斜边c上的高的长是h,给出下列结论:

①以a²,b²,c²的长为边的三条线段能组成一个三角形;②以,,的长为边的三条线段能组成一个三角形;③以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角三角形;④以,,的长为边的三条线段能组成直角三角形.

其中所有正确结论的序号为　　　　　　　　.

三、解答题(共26分)

7.(8分)如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13nmile的A,B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120nmile,乙巡逻艇每小时航行50nmile,航向为北偏西40°,问:甲巡逻艇的航向是多少?

8.(8分)如图,每个小正方形的边长均为1.求四边形ABCD的面积和周长(精确到0.1).

【拓展延伸】

9.(10分)王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为am,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m.

(1)请用a表示第三条边长.

(2)问第一条边长可以为7m吗?为什么?请说明理由,并求出a的取值范围.

(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说出你的围法;若不能,请说明理由.

 

 

 

答案解析

1.【解析】选C.根据勾股定理可以得到:AC=BC=,AB=.

∵()²+()²=()²,

∴AC²+BC²=AB².∴△ABC是等腰直角三角形.

∴∠ABC=45°.

2.【解析】选B.AB²=2²+2²=8,CD²=4²+2²=20,EF²=1²+2²=5,GH²=3²+2²=13,

所以AB²+EF²=GH².

3.【解析】选A.设直角三角形的三边分别为a,b,c,且满足a²+b²=c²,扩大相同倍数后各边分别为na,nb,nc,

因为(na)²+(nb)²=n²(a²+b²)=n²c²=(nc)²,

所以扩大同样的倍数后得到的三角形仍是直角三角形.

4.【解析】逆命题为:三角形三边长a,b,c,满足a²+b²=c²,这个三角形是直角三角形,逆命题改写成“如果……,那么……”的形式:如果三角形三边长a,b,c,满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形.

答案:如果三角形三边长a,b,c,满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形

5.【解析】从上边可以发现第一个数是奇数,且逐步递增2,故第5组第一个数是11,又发现第二、第三个数相差为1,故设第二个数为x,则第三个数为x+1,根据勾股定理得:11²+x²=(x+1)²,

解得x=60,则得第⑤组勾股数是11,60,61.

答案:11,60,61

6.【解析】①直角三角形的三条边满足勾股定理a²+b²=c²,因而以a²,b²,c²的长为边的三条线段不能满足两边之和大于第三边,故不能组成一个三角形,故错误;②直角三角形的三边有a+b>c(a,b,c中c最大),而在,,三个数中最大,如果能组成一个三角形,则有+>成立,即(+)²>()²,即a+b+2>c(由a+b>c),则不等式成立,从而满足两边之和大于第三边,则以,,的长为边的三条线段能组成一个三角形,故正确;③a+b,c+h,h这三个数中c+h一定最大,(a+b)²+h²=a²+b²+2ab+h²,(c+h)²=c²+h²+2ch,

又∵2ab=2ch=4S_△ABC,∴(a+b)²+h²=(c+h)²,根据勾股定理的逆定理即以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角三角形,故正确;④假设a=3,b=4,c=5,则,,的长为,,,以这三个数的长为边的三条线段不能组成直角三角形,故错误.

答案:②③

7.【解析】AC=120×=12(nmile),BC=50×=5(nmile),又因为AB=13nmile,所以AC²+BC²=AB²,所以△ABC是直角三角形,可知∠CAB+∠CBA=90°,由∠CBA=50°,知∠CAB=40°,所以甲巡逻艇的航向为北偏东50°.

8.【解析】根据勾股定理得到:

AD==,

AB==,

CD==5;

BC==,

∴四边形ABCD的周长是

AB+BC+CD+AD=++5+≈18.8.

连接AC,BD,则AC==5.

∵(2)²+()²=5²,5²+5²=(5)²,

∴AB²+BC²=AC²,AC²+CD²=AD².

∴∠ABC和∠ACD是直角.

∴四边形ABCD的面积=直角△ABC的面积+直角△ACD的面积=BC·AB+AC·CD=17.5.

【归纳整合】勾股定理与其逆定理的联系和区别

联系:(1)两者都与a²+b²=c²有关.(2)两者所讨论的问题都是直角三角形.

区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形三边的数量关系,“a²+b²=c²”;勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a²+b²=c²”为条件,进而得到“这个三角形是直角三角形”,是判别一个三角形是否是直角三角形的一个方法.

9.【解析】(1)∵第二条边长为2a +2,

∴第三条边长为30-a-(2a +2)=28-3a.

(2)当a =7时,三边长分别为7,16,7.

由于7+7<16,所以不能构成三角形,即第一条边长不能为7m.

由可解得<a<,即a的取值范围是<a<.

(3)在(2)的条件下,a为整数时,a只能取5或6.

当a =5时,三角形的三边长分别为5,12,13.

由5²+12²=13²知,恰好能构成直角三角形.

当a =6时,三角形的三边长分别为6,14,10.

由6²+10²≠14²知,此时不能构成直角三角形.

综上所述,能围成满足条件的小圈,它们的三边长分别为5m,12m,13m.