2.2直线与平面的平行与垂直的判定及其性质

高考要求：

理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．

理解以下判定定理．

l 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．

l 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．

理解以下性质定理，并能够证明．

l 如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．

l 垂直于同一个平面的两条直线平行．

能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．

能根据定义解决两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、简单计算问题. 

 

教学目标：

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的判定定理

2.认识和理解空间中线面平行以及垂直的性质定理，灵活运用判定定理和性质定理

3.掌握转化思想 线线平行线面平行    线线垂直线面垂直

教学重点：通过直观感知、操作确认，归纳出判定定理和性质定理

教学难点：性质定理的证明

第4,5课时

课前导学：

（一）直线与平面平行的判定与性质

(1)线面平行的判定定理：

       如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。

符号表示：

 

 

 

 

 

 

 

 

定理说明：证明线面平行的关键在于证明线线平行，简述为：线线平行线面平行

 

 

 

 

 

（2）线面平行的性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意一个平面与此平面的交线与该直线平行。 

符号表示：

 

 

 

 

定理证明：

 

 

 

 

 

 

 

 

定理说明：线面平行的性质定理又可以作为线线平行的判定定理，

          简述为：线面平行线线平行

      由判定及其性质可知 线面平行线线平行

 

预习自测：

1.如图，在空间四边形ABCD中，若M、N为AB、AD的中点，求证： MN∥平面BDC.

 

 

 

 

 

 

2.经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面  

AA1D1D于E1E，求证：E1E∥B1B

 

 

 

 

 

 

典型例题：

 

例1．已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：

AF∥平面PEC

 

 

 

 

 

 

 

例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF∥平面BB1D1D.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3.已知、、、分别是四面体的棱、、、的中点，

求证：∥平面.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例4.如右图，平行四边形EFGH的顶点分别在空间四边形ABCD各边上，

求证：BD//平面EFGH.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例5.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证:另一条也平行于这个平面.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第6,7课时

课前导学：

（二）直线与平面垂直的判定与性质

（1）直线与平面垂直定义：

如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，称这条直线和这个平面垂直，记作：

  其中，直线叫做这个平面的垂线，平面叫做这条直线的垂面，交点叫垂足

   

 

 

 

画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。

 

注：①直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况

        ②定义中“任何”表示所有，不能理解为“无数”。若直线与平面内的无数条

          直线垂直，则直线不一定垂直于平面；

    ③ ⊥等价于对任意的直线Ì，都有⊥。

 

（2）直线与平面垂直的判定定理：

  如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号表示：

 

 

 

 

 

 

定理说明：证明线面垂直的关键在于证明两个线线垂直，简述为：线线垂直线面垂直

 

注：（1） 定理中“两条相交直线”二字不可忽视，否则线面垂直的结论不成立

（2）证明线面垂直归结为证明线线垂直，证明无数多线线垂直减弱为只需证明两个线线垂直即可  简述为：线线垂直线面垂直

 

（3）直线和平面所成的角： 

一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，

交点叫做斜足

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角

 

 

 

 

 

（4）线面垂直的性质定理： 

垂直于同一个平面的两条直线平行

符号表示：

 

 

 

典型例题：

例1.已知：a∥b,，求证：

 

 

 

 

 

 

例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1，上下底面对角线分别交于，（1）求证:平面ABCD 

（2）求证：平面

（3）E是的中点，求证：平面BED

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3. 三棱锥中，若已知

（1） PA、PB、PC两两垂直，且H是的垂心，求证：平面ABC

（2） ，求证：

（3） O是的外心，若PA=PB=PC，求证：平面ABC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例4．ΔABC中，已知∠ABC=900，SA⊥ΔABC所在平面，又点A在SB和SC上的射影分别是P、Q，求证：PQ⊥SC