2.5　等比数列的前n项和(一)

自主学习

 知识梳理

1．等比数列前n项和公式：

(1)公式：Sn＝　　　　 (q＝1)(　　　　　＝　　　　　　　　(q≠1)).

(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．

2．等比数列前n项和的一个常用性质：

在等比数列中，若等比数列{an}的公比为q，当q＝－1，且m为偶数时，Sm＝S2m＝S3m＝0，此时Sm、S2m－Sm、S3m－S2m不成等比数列；当q≠－1或m为奇数时，Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等比数列．

3．推导等比数列前n项和的方法叫__________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．

 自主探究

阅读教材后，完成下面等比数列前n项和公式的推导过程．

方法一：设等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.

由等比数列的通项公式可将Sn写成

Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①

①式两边同乘以q得

qSn＝________________________________.②

①－②，得(1－q)Sn＝____________，由此得q≠1时，

Sn＝__________，因为an＝________，所以上式可化为Sn＝________.当q＝1时，Sn＝__________.

方法二：由等比数列的定义知a1(a2)＝a2(a3)＝…＝an－1(an)＝q.

当q≠1时，

a1＋a2＋…＋an－1(a2＋a3＋…＋an)＝q，即Sn－an(Sn－a1)＝q.

故Sn＝____________.

当q＝1时，Sn＝____________.

方法三：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1

＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－2)

＝a1＋qSn－1＝a1＋q(Sn－an)

当q≠1时，Sn＝____________＝____________.

当q＝1时，Sn＝________.

对点讲练

知识点一　有关等比数列前n项和的计算

 

例1　在等比数列{an}中，S3＝2(7)，S6＝2(63)，求an.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

总结　涉及等比数列前n项和时，要先判断q＝1是否成立，防止因漏掉q＝1而出错．

变式训练1　在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

知识点二　利用等比数列前n项和的性质解题

 

例2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

总结　通过两种解法比较，可看出，利用等比数列前n项和的性质解题，思路清晰，过程较为简捷．

变式训练2　等比数列的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝30，S60＝630，求S70的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

知识点三　错位相减法的应用

 

例3　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0，n∈N*)．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

总结　一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用这一思路和方法．

变式训练3　求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．

2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．

3．教材中的推导方法叫做错位相减法，这种方法是我们应该掌握的重要方法之一．它适合数列{anbn}的求和，其中{an}代表等差数列，{bn}代表等比数列，即一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的新数列的求和可用此法. 

 

课时作业

一、选择题

1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为(　　)

A．63   B．64   C．127   D．128

2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则S5(S10)等于(　　)

A．－3   B．5   C．－31   D．33

3．已知公比为q (q≠1)的等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列an(1)的前n项和为(　　)

A.Sn(qn)   B.qn(Sn)   C.Snqn－1(1)   D.qn－1(2)

4．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为(　　)

A．514   B．513   C．512   D．510

5．在等比数列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于(　　)

A．90   B．70   C．40   D．30

题　号	1	2	3	4	5
答　案

二、填空题

6．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则a2(S4)＝________.

7．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．

8．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.

三、解答题

9．设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝3(1)(an－1) (n∈N*)．

(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§2.5　等比数列的前n项和(一)

知识梳理

1．(1)1－q(a1(1－qn))　1－q(a1－anq)　na1

3．错位相减

自主探究

a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn　a1－a1qn　1－q(a1(1－qn))　a1qn－1　1－q(a1－anq)　na1　1－q(a1－anq)　na1

1－q(a1－anq)　1－q(a1(1－qn))　na1

对点讲练

例1　解　由已知S6≠2S3，则q≠1，

又S3＝2(7)，S6＝2(63)，即. ②(63)

②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.

可求得a1＝2(1)，因此an＝a1qn－1＝2n－2.

变式训练1　解　∵a3·an－2＝a1·an，

∴a1an＝128，

解方程组a1＋an＝66，(a1an＝128，)

得①an＝2，(a1＝64，)或②an＝64.(a1＝2，)

将①代入Sn＝1－q(a1－anq)＝126，可得q＝2(1)，

由an＝a1qn－1可解得n＝6.

将②代入Sn＝1－q(a1－anq)，可得q＝2，

由an＝a1qn－1可解得n＝6.

故n＝6，q＝2(1)或2.

例2　解　方法一　因为S2n≠2Sn，所以q≠1，

由已知得＝60(a1(1－q2n))

②÷①得1＋qn＝4(5)，即qn＝4(1).③

将③代入①得1－q(a1)＝64，

所以S3n＝1－q(a1(1－q3n))＝64×43(1)＝63.

方法二　因为{an}为等比数列，且q≠1，

所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，

所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，

所以S3n＝Sn((S2n－Sn)2)＋S2n＝48((60－48)2)＋60＝63.

变式训练2　解　设b1＝S10，b2＝S20－S10，…，则b7＝S70－S60.

因为q≠1，所以S10，S20－S10，S30－S20，…，S70－S60成等比数列，所以b1，b2，…，b7成等比数列，首项为b1＝10，公比为q＝b1(b2)＝10(20)＝2.求得b7＝10·26＝640.

由S70－S60＝640，得S70＝1 270.

例3　解　(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝2(n(n＋1)).

(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，①

xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，②

①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1

＝1－x(x(1－xn))－nxn＋1.

∴Sn＝(1－x)2(x(1－xn))－1－x(nxn＋1).

综上可得

Sn＝ (x≠1且x≠0)(nxn＋1).

变式训练3　解　(1)当a＝0时，Sn＝1.

(2)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，

则Sn＝2(n[1＋(2n－1)])＝n2.

(3)当a≠1且a≠0时，

有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1，①

aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an，②

①－②得

Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，

(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)＝1－(2n－1)an＋2·1－a(a(1－an－1))

＝1－(2n－1)an＋1－a(2(a－an))，

又1－a≠0，∴Sn＝1－a(1－(2n－1)an)＋(1－a)2(2(a－an)).

综上，

Sn＝ (a≠0且a≠1)(2(a－an)).

课时作业

1．C　[设公比为q，则由a1＝1，a5＝16得a5＝a1q4，

即16＝q4，由q>0，得q＝2.

则S7＝1－q(a1(1－q7))＝1－2(1－27)＝127.]

2．D　[由题意知公比q≠1，

S3(S6)＝1－q(a1(1－q3))＝1＋q3＝9，

∴q＝2，S5(S10)＝1－q(a1(1－q5))＝1＋q5＝1＋25＝33.]

3．D　[数列an(1)也是等比数列，且首项为a1(1)，公比为q(1)，

其前n项和为：q(1)＝qn－1(2)·q－1(a1(qn－1))

＝qn－1(2).]

4．D　[由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12，

得方程组a1q＋a1q2＝12(a1＋a1q3＝18)，解得q＝2(a1＝2)或2(1).

∵q为整数，

∴q＝2，a1＝2，S8＝2－1(2(28－1))＝29－2＝510.]

5．C　[q≠1 (否则S30＝3S10)，∵S10＋S30＝140(S30＝13S10)，

∴S30＝130(S10＝10)，∴＝130(a1(1－q30))，

∴q20＋q10－12＝0.

∴q10＝3或q10＝－4(舍去)，

∴S20＝1－q(a1(1－q20))＝S10(1＋q10)

＝10×(1＋3)＝40.]

6.2(15)

解析　由等比数列的定义，

S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝q(a2)＋a2＋a2q＋a2q2，

得a2(S4)＝q(1)＋1＋q＋q2＝2(15).

7．10

解析　∵Sn＝1－q(a1－anq)，

∴－341＝1－q(1＋512q)，∴q＝－2，

又∵an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1，

∴n＝10.

8．2n－1

解析　当n＝1时，S1＝2a1－1，

∴a1＝2a1－1，

∴a1＝1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)

∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，

∴an＝2n－1，n∈N*.

9．解　方法一　由已知a1≠0，Sn＝1－q(a1(1－qn))，

则， ②(a1(1－q2))

由②得1－q4＝5(1－q2)．∴(q2－4)(q2－1)＝0.又q<1.∴q＝－1或q＝－2.

当q＝－1时，a1＝2，an＝2×(－1)n－1.

当q＝－2时，a1＝2(1)，an＝2(1)×(－2)n－1.

方法二　∵S4＝5S2，∴a1＋a2＋a3＋a4＝5(a1＋a2)．

∴a3＋a4＝4(a1＋a2)．

(1)当a1＋a2＝0，即a2＝－a1，

即q＝－1时，a3＋a4＝0适合；

∵a3＝2，∴a1＝(－1)2(2)＝2，

∴an＝2×(－1)n－1.

(2)当a1＋a2≠0时，a1＋a2(a3＋a4)＝4.

即q2＝4.又q<1，

∴q＝－2，a1＝(－2)2(2)＝2(1)，此时，an＝2(1)×(－2)n－1.

10．(1)解　由S1＝3(1)(a1－1)，得a1＝3(1)(a1－1)，

∴a1＝－2(1).

又S2＝3(1)(a2－1)，

即a1＋a2＝3(1)(a2－1)，得a2＝4(1).

(2)证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝3(1)(an－1)－3(1)(an－1－1)，

得an－1(an)＝－2(1)，又a1(a2)＝－2(1)，

所以{an}是首项为－2(1)，公比为－2(1)的等比数列．