2.5　等比数列的前n项和(二)

自主学习

 知识梳理

1．等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝____________＝____________；当q＝1时，Sn＝________.

2．等比数列前n项和的性质：

(1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成________数列．(注意：q≠－1或m为奇数)

(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．

(3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则S奇(S偶)＝________.

3．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝1－q(a1)(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝________.

4．解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．

 自主探究

利用等比数列前n项公式证明an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝a－b(an＋1－bn＋1)，其中n∈N*a，b是不为0的常数，且a≠b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

对点讲练

知识点一　等比数列前n项和的证明问题

 

例1　设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：2(log0.5Sn＋log0.5Sn＋2)>log0.5Sn＋1.

 

 

 

 

 

总结　本题关键是证明Sn·Sn＋2<Sn＋1(2).证明时要分q＝1和q≠1两种情况．

变式训练1　已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：Sn(2)＋S2n(2)＝Sn(S2n＋S3n)．

 

 

 

 

 

 

知识点二　等比数列前n项和的实际应用

 

例2　为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.

(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；

(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)

参考数据：0.910≈0.35.

 

 

 

 

 

 

 

总结　本题建立等比数列的模型及弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按照要求保留一定的精确度．

变式训练2　

一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

知识点三　等差数列、等比数列的综合问题

 

 

例3　设{an}是等差数列，bn＝2(1)an，已知：b1＋b2＋b3＝8(21)，b1b2b3＝8(1)，求等差数列的通项an.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

总结　(1)一般地，如果{an}是等差数列，公差为d，且cn＝can (c>0且c≠1)，那么数列{cn}是等比数列，公比q＝cd.

(2)一般地，如果{an}是各项为正数的等比数列，公比为q，且cn＝logaan(a>0且a≠1)，那么数列{cn}为等差数列，公差d＝logaq.

变式训练3　在等比数列{an}中，an>0 (n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log2 an，数列{bn}的前n项和为Sn，当1(S1)＋2(S2)＋…＋n(Sn)最大时，求n的值．

 

 

 

 

 

 

 

1．深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键．两类数列的性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同样，用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．

2．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处．

3．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题. 

 

课时作业

一、选择题

1．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为(　　)

A．1.14a   B．1.15a

C．10×(1.15－1)a   D．11×(1.15－1)a

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a1(2)＋a2(2)＋…＋an(2)等于(　　)

A．(2n－1)2   B.2(1)(2n－1)2

C．4n－1   D.3(1)(4n－1)

3．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)(　　)

A．300米   B．299米   C．199米   D．166米

4．若等比数列{an}的公比q>0，且q≠1，又a1<0，那么(　　)

A．a2＋a6>a3＋a5   B．a2＋a6<a3＋a5

C．a2＋a6＝a3＋a5   D．a2＋a6与a3＋a5的大小不确定

5．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＝－3，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8等于(　　)

A.16(21)   B.16(19)   C.8(9)   D.4(3)

题　号	1	2	3	4	5
答　案

二、填空题

6．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.

7．如果b是a，c的等差中项，y是x与z的等比中项，且x，y，z都是正数，则(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝______.

8．等比数列{an}的首项a1＝511，公比q＝2(1)，记Cn＝a1·a2·a3·…·an，则当Cn达到最大时，n的值是________．

三、解答题

9．设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少5(1)，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4(1).

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；

(2)至少经过多少年旅游业的总收入才能超过总投入？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§2.5　等比数列的前n项和(二)

知识梳理

1.1－q(a1(1－qn))　1－q(a1－anq)　na1

2．(1)等比　(2)q

3.q－1(a1)

自主探究

证明　∵a≠0，b≠0，a≠b，∴a(b)≠1.

∴左端＝an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn

＝ann(b)

＝a(b)＝n＋1()

＝a－b(an＋1－bn＋1)＝右端．

∴an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝a－b(an＋1－bn＋1).

对点讲练

例1　证明　设{an}的公比为q，

由题设知a1>0，q>0，

当q＝1时，Sn＝na1，从而Sn·Sn＋2－Sn＋1(2)

＝na1·(n＋2)a1－(n＋1)2a1(2)＝－a1(2)<0.

当q≠1时，Sn＝1－q(a1(1－qn))，

从而Sn·Sn＋2－Sn＋1(2)＝(1－q)2((1－qn)(1－qn＋2))－(1－q)2((1－qn＋1)2)＝－a1(2)qn<0.

综上知，Sn&, lt;, span style="FONT-FAMILY: 宋体; FONT-SIZE: 10.5pt">·Sn＋2<Sn＋1(2)，

∴log0.5(Sn·Sn＋2)>log0.5Sn＋1(2).

即2(log0.5Sn＋log0.5Sn＋2)>log0.5Sn＋1.

变式训练1　证明　方法一　设此等比数列的公比为q，首项为a1，

当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，

∴Sn(2)＋S2n(2)＝n2a1(2)＋4n2a1(2)＝5n2a1(2)，

Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a1(2)，

∴Sn(2)＋S2n(2)＝Sn(S2n＋S3n)．

当q≠1时，则Sn＝1－q(a1)(1－qn)，

S2n＝1－q(a1)(1－q2n)，S3n＝1－q(a1)(1－q3n)，

∴Sn(2)＋S2n(2)＝1－q(a1)2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]

＝1－q(a1)2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．

又Sn(S2n＋S3n)＝1－q(a1)2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，

∴Sn(2)＋S2n(2)＝Sn(S2n＋S3n)．

方法二　根据等比数列性质，

有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，

S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，

∴Sn(2)＋S2n(2)＝Sn(2)＋[Sn(1＋qn)]2＝Sn(2)(2＋2qn＋q2n)，

Sn(S2n＋S3n)＝Sn(2)(2＋2qn＋q2n)．

∴Sn(2)＋S2n(2)＝Sn(S2n＋S3n)．

例2　解　(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，

∴an＝a·0.9n－1 (n≥1)．

(2)10年的出口总量S10＝1－0.9(a(1－0.910))

＝10a(1－0.910)．

∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即a≤1－0.910(8)，

∴a≤12.3.故2010年最多出口12.3吨．

变式训练2　解　用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝5(4)an，

因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝5(4)的等比数列．

热气球在前n分钟内上升的总高度为：

Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1－q(a1(1－qn))

＝5(4)＝125×n(4)<125.

故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.

例3　解　设等差数列{an}的公差为d，

则bn(bn＋1)＝an(1)＝2(1)an＋1－an＝2(1)d.

∴数列{bn}是等比数列，公比q＝2(1)d.

∴b1b2b3＝b2(3)＝8(1)，∴b2＝2(1).

∴4(1)，解得8()或8(1).

当8()时，q2＝16，∴q＝4(q＝－4<0舍去)

此时，bn＝b1qn－1＝8(1)·4n－1＝22n－5.

由bn＝2(1)5－2n＝2(1)an，

∴an＝5－2n.

当8(1)时，q2＝16(1)，∴q＝4(1)<0舍去(1)

, 此时，bn＝b1qn－1＝2·4(1)n－1＝2(1)2n－3＝2(1)an，

∴an＝2n－3.

综上所述，an＝5－2n或an＝2n－3.

变式训练3　解　(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，

∴a3(2)＋2a3a5＋a5(2)＝25，

又an>0，∴a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2，

∴a3a5＝4，

而q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.

∴q＝2(1)，a1＝16，∴an＝16×2(1)n－1＝25－n.

(2)bn＝log2 an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，

∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，

∴Sn＝2(n(9－n))，∴n(Sn)＝2(9－n)，

∴当n≤8时，n(Sn)>0；当n＝9时，n(Sn)＝0；

当n>9时，n(Sn)<0.

∴当n＝8或9时，1(S1)＋2(S2)＋3(S3)＋…＋n(Sn)最大．

课时作业

1．D　[注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.

∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11×(1.15－1)a.]

2．D　[易知{an}为等比数列且an＝2n－1.

∴{an(2)}也是等比数列，a1(2)＝1，公比为4.

∴a1(2)＋a2(2)＋…＋an(2)＝1－4(1－4n)＝3(1)(4n－1)．]

3．A　[小球10次着地共经过100＋100＋50＋…＋100×2(1)8＝29964(39)≈300(米)．]

4．B　[(a2＋a6)－(a3＋a5)＝a1(q＋q5)－a1(q2＋q4)

＝a1q(q4－q3－q＋1)＝a1q(q－1)2(q2＋q＋1)

∵a1<0，q>0且q≠1，q2＋q＋1>0，

∴a1q(q－1)2(q2＋q＋1)<0，

∴a2＋a6<a3＋a5.]

5．A

6．－3(1)

解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，

又Sn＝3(1)·3n＋t，∴t＝－3(1).

7．0

解析　∵a，b，c成等差数列，设公差为d，

则(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz

＝－dlogmx＋2dlogmy－dlogmz

＝dlogmxz(y2)＝dlogm1＝0.

8．9

解析　由an＝511×2(1)n－1>1，解得n≤9.

即a1>a2>…>a9>1>a10>a11>….

∴当n＝9时，Cn最大．

9．证明　设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠0，q≠0，p≠q，cn＝an＋bn.

要证{cn}不是等比数列，只需证c22≠c1·c3成立即可．

事实上，c22＝(a1p＋b1q)2＝a21p2＋b21q2＋2a1b1pq，

c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)

＝a21p2＋b21q2＋a1b1(p2＋q2)．

由于c1c3－c22＝a1b1(p－q)2≠0，因此c22≠c1·c3，故{cn}不是等比数列．

10．解　(1)第一年投入为800万元，

第二年投入为800×5(1)万元，…，

第n年投入为800×5(1)n－1万元．

所以n年内总投入为：

an＝800＋800×5(1)＋…＋800×5(1)n－1

＝800×n－1(4)

＝4 000×n(4).

第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400×4(1)万元，…，第n年旅游业收入为400×4(1)n－1万元，所以n年内的旅游业总收入为：

bn＝400＋400×4(1)＋…＋400×4(1)n－1

＝400×n－1(5)

＝1 600×n－1(5).

(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，则bn－an>0，

即1 600×n－1(5)－4 000×n(4)>0，

化简得：24(5)n＋55(4)n－7>0，

设x＝5(4)n，则5x2－7x＋2>0，

解得x<5(2)或x>1，

∵n≥1，∴x＝5(4)n<1，∴x>1(舍去)，

即5(4)n<5(2)，由此得n≥5.

∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入．