福建省泉州十五中2014高中数学 3.4 基本不等式导学案3 新人教A版必修5

【学习目标】

1、知识目标：

理解并掌握基本不等式；以及应用基本不等式的条件；会用基本不等式求某些函数的最大、最小值。

2．过程与方法：

通过自主学习，合作探究，在证明过程中培养学生举一反三的逻辑推理能力。

 3、情感目标：

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【学习重、难点】

重点：理解并掌握基本不等式，会用基本不等式求某些函数的最大、最小值。

难点：基本不等式等号成立条件，基本不等式的应用 。

【学习过程】

阅读教材第97—100页，回答下列问题： 

课前准备

证明：

 

 

 

 

 

探究

特别的，如果，，我们用、分别代替、，上述结论仍成立吗？ 

即当，时，通常我们把该不等式写作：（，）

如何证明？

用分析法证明：

证明：要证               (1)

只要证                       (2)

要证（2），只要证    （3）

要证（3），只要证 （4） 

显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b时，（4）中的等号成立. 

 

新知

我们称为正数的       平均数，称为正数的        平均数.

基本不等式：当，则     ，当且仅当_  ___时，不等式取等号.

可叙述为：两个正数的       平均数不小于它们的        平均数.

 

思考： 

①两个不等式， 中a,b适用的范围相同吗？ 

 

②两个不等式关系中取“=”的条件？  

 

 

③基本不等式的变形有：                     

 

④应用基本不等式的条件是                                

典型例题

例1(1) 若x>0,求的最小值;   (2)若x<0,求的最大值

 

 

 

 

 

 

例2.已知0<x<，求函数y=x(1-3x)的最大值。

 

 

 

 

 

 

 

 

例3．求(x>5)的最小值。

 

 

 

 

 

例4．已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

当堂检测

1. 已知x0，若x＋的值最小，则x为（     ）

A． 81     B． 9     C． 3      D．16 

2．设x0，则的最大值为（     ）

A． 3      B．    C．     D． 

3. 若，且，则、、、中最大的一个是（     ）

A．   B．   C．   D．

4. 若实数a，b，满足，则的最小值是（     ）

A．18    B．6      C．     D．

5. 已知x≠0，当x=_____时，x2＋的值最小，最小值是________.

6. 若，则的最小值为        .

7. 在下列不等式的证明过程中，正确的是（     ）

A．若，则        B．若，则

C．若，则  D．若，则

 

8．（1）当时，求的最大值；

（2）已知，求的最小值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？

 

 

 

 

 

 

拓展提升

1. 常用不等式：

             

2．若，，， 比较的大小。

 

3． 已知，满足，求的最小值.

 

4．当时，求函数的值域

归纳总结

1．在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.

2．用基本不等式解决应用问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； 

(4)写出正确答案.