数学奥林匹克初中训练题2

第一试

一、选择题(每小题7分,共42分)

1.若x、y、z均为实数,且满足,

则x、y、z的取值情况是(    ).

(A)全为正数         (B)全为非负数         (C)全为负数    (D)有且仅有一个为零

2.如图,在钝角△ABC中,BC=1,∠A=30°,D为边BC的中点,G为△ABC的重心.若B、C为定点,当点A运动时,线段GD长度的取值范围是(    ).

 (A)0≤     (B)   

(C)0≤    (D) ≤GD≤

3.设a、b为正整数,且a+b、a+5、b-2是某个直角三角形的三边长.则正整数对(a,b)的个数是(    )个.

(A)0      (B)1     (C)2     (D)3

4.已知抛物线y=ax²+bx+c(a>0)与直线y=k(x-1)-.无论k取任何实数,此抛物线与直线都只有一个公共点.那么,抛物线的解析式是(    ).

(A)y=x²     (B)y=x²-2x        (C)y=x²-2x+1    (D)y=2x²-4x+2

5.若x为实数,记{x}=x-[x]([x]表示不超过x的最大整数),则方程2006x+{x}=

的实根的个数是(    ).

(A)0      (B)1     (C)2       (D)大于2的整数

6.如图,正方形ABCD内接于⊙O,P为劣弧CD上一点,PA交BD于点M,PB交AC于点N,记∠PAC=θ.若MN⊥PA,则2cos²θ-tanθ的值等于(    ).

(A)1         (B)／2         (C)1／2        (D)／4

二、填空题(每小题7分,共28分)

1.已知x、y为实数,且满足(x+)(y+)=2 008.

则x²-3xy-4y²-6x-6y+2 008的值等于        .

2.设实数a、b、c满足a+b+c=0,abc=2.则u=|a|³+|b|³+|c|³的最小值为        .

3.在直角坐标平面内,已知A(- ,0)、B( ,0),点P在直线y=(x+4)+1上运动.当∠APB最大时,的值为        .

4.设Rt△ABC的三边长分别为a、b、c,且a若.则a∶b∶c=        .

第二试

一、(20分)已知m、n均为正整数,且m>n,2006m²+m=2 007n²+n.问m-n是否为完全平方数?并证明你的结论.

二、(25分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=12,E是边CD上一点,且.设过A、B、C、E四点的⊙O₁的半径为R₁,过A、C、D三点的⊙O₂的半径为R₂,且边BC与⊙O₂相切.

(1)求边CD的长;

(2)求的取值范围.

三、(25分)求实数a的值,使得函数f(x)=(x+a)(|x-a+1|+|x-3|)-2x+4a的图像为中心对称图形.