数学奥林匹克初中训练题1

第一试

一、选择题(每小题7分，共42分)

1.设，且x、y、z为有理数.则xyz=(    ).

(A)3／4     (B)5／6    (C)7／12    (D)13／18

2.设二次函数f(x)=ax²+ax+1的图像开口向下，且满足f(f(1))=f(3).则2a的值为(    ).

(A)-3      (B)-5     (C)-7     (D)-9

3.方程|xy|+|x+y|=1的整数解的组数为(    ).

(A)2      (B)4     (C)6     (D)8

4.a、b是方程x²+(m-5)x+7=0的两个根.则(a²+ma+7)(b²+mb+7)=(    ).

(A)365      (B)245     (C)210     (D)175

5.如图，Rt△ABC的斜边BC=4，∠ABC=30°，以AB、AC为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为(    )

(A)      (B)

 (C)      (D)

6.从1，2，…，13中取出k个不同的数，使这k个数中任两个数之差既不等于5，也不等于8.则k的最大值为(    ).

(A)5             (B)6          (C)7         (D)8

二、填空题(每小题7分，共28分)

1.若整系数一元二次方程x²+(a+3)x+2a+3=0有一正根x₁和一负根x₂，且|x₁|<|x₂|，则a=        .

2.当x=时，代数式x⁴+5x³-3x²-8x+9的值是        .

3.给定两组数，A组为:1，2，…，100;B组为:1²，2²，…，100².对于A组中的数x，若有B组中的数y，使x+y也是B组中的数，则称x为“关联数”.那么，A组中这样的关联数有        个.

4.已知△ABC的三边长分别为

AB=2，BC=，AC=，其中a>7.则△ABC的面积为        .

第二试

一、(20分)解方程:(12x+5)²(6x-1)(x+1)=.

二、(25分)如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，自对角线AC、BD的交点N作NM⊥AB于点M，线段AC、MD交于点E，BD、MC交于点F，P是线段EF上的任意一点.证明:点P到线段CD的距离等于点P到线段MC、MD的距离之和.

三、(25分)矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，将其重新粘合成原矩形后，有交结点30个，其中20个点在原矩形的周界上(包括原矩形的四个顶点)，其余10个点在矩形内部.在矩形的内部有45条粘缝(两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示).

试求该矩形台板所碎裂成的各种类型(指三角形、四边形、五边形等)的块数.

说明:若凸多边形的周界上有n个点，就将其看成n边形,例如,图中的多边形ABCDE要看成五边形.