数学奥林匹克初中训练题4

第一试

一、选择题(每小题7分，共42分)

1.已知A、B两地间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别是1，1，2，2，3，4.现从中任选三条网线且使这三条网线通过的最大信息量的和大于或等于6的方法共有(    )种.

(A)13      (B)14     (C)15     (D)16

2.设a、b、c是互不相等的任意正数，.则x、y、z这三个数(    ).

(A)都不大于2       (B)至少有一个大于2   (C)都不小于2   (D)至少有一个小于2

3.在凸四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AD=DC.若S_{四边形ABCD}=12，则AB+BC=(    ).

(A)6       (B)4       (C)5       (D)3 

4.已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的图像如图所示.记p=|a-b+c|+|2a+b|，q=|a+b+c|+|2a-b|.则有(    ).

(A)p>q         (B)p=q        (C)p    、q的大小关系不能确定

5.若x₁、x₂、x₃、x₄、x₅为互不相等的正奇数，且满足

(2 005-x₁)(2 005-x₂)(2 005-x₃)·(2 005-x₄)(2 005-x5)=242，则x²₁+x²₂+x²₃+x²₄+x²₅的末位数字是(    ).

(A)1      (B)3     (C)5     (D)7

6.如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，过AC与BD的交点作MN∥AB，点M、N分别在AD、BC上.则AB、DC、MN所满足的关系式是(    ).

(A)AB+DC=  MN     (B)AB·DC=MN²

(C)    (D)

二、填空题(每小题7分，共28分)

1.如图3所示的数阵的第n行第二个数是        .

2.关于x的一元二次方程m²x²+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实数根;关于x的一元二次方程x²+(2a+m)x+2a+1-m²=0有一个大于0且小于4的实数根.则a的整数值是        .

3.在某届篮球赛事中，小明共打了10场球.他在第6、7、8、9场比赛中分别得23分、14分、11分和20分.他的前9场比赛的平均得分比前5场比赛的平均得分要高.若他所打的10场比赛的平均得分超过18分，则他在第10场比赛中得分的最小值是        .

4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=a，CA=b，且∠A-∠B=90°.则⊙O的半径为        .

第二试

一、(20分)证明:存在正常数c，使得对所有实数x、y、z，有

1+|x+y+z|+|xy+yz+zx|+|xyz|>c(|x|+|y|+|z|).

二、(25分)如图5，以锐角△ABC的边AB为直径作半圆⊙O交边BC、CA于点E、F.过点E、F分别作⊙O的切线得交点P.求证:CP⊥AB.

三、(25分)已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的图像过点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，且满足a²+(y₁+y₂)a+y₁y₂=0.

(1)证明:y₁=-a或y₂=-a;

(2)证明:函数f(x)的图像必与x轴有两个交点;

(3)若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|x>m或x，解关于x的不等式cx²-bx+a>0.