数学奥林匹克初中训练题7

第一试

一、选择题(每小题7分,共42分)

1.设a₁,a₂,…,a_n表示0~9的数字,且n+ 1位数乘以2后变为2a₁a₂…a_n.则n的最小值为(    ).

(A)15      (B)16     (C)17     (D)18

2.时钟指在上午9时至10时的某一时刻,这一时刻前2分钟的时针与后2分钟的分针在一条直线上(不考虑重合情形).则这一时刻为(    ).

(A)9时13分     (B)9时16分     (C)9时12分    (D)9时14分

3.五边形ABCDE中,∠A=∠C=90°,AB=BC=DE=AE+CD=3.则这个五边形的面积为(    ).

(A)9       (B)10.5      (C)12      (D)13.5

4.对于每个x,函数y是函数y₁=2x,y₂=x+3,y₃=-x+3中的最大值.则函数y的最小值为(    ).

(A)2      (B)3     (C)5     (D)6

5.已知二次函数y=ax²+bx+c开口向下,顶点位于第二象限,且经过点(1,0)及(0,2).则a的取值范围是(    ).

(A)a<0      (B)a<-1    (C)-2    

6.设G是△ABC的重心,r是△ABC内切圆的半径,点G到边BC、CA、AB的距离分别为GD、GE、GF.令s=.则(    ).

(A)s>     (B)s=    (C)s<    (D)不能确定

二、填空题(每小题7分,共28分)

1.将分式写成分母分别为n、n+1、n+2、n+3的四个分式的代数和,结果为        .

2.已知a、b为正数,且2a+b=2.则+的最小值为        .

3.已知实数a、b满足a²=-1-5a,5b=-1-b².则的值为        .

4.已知AD是△ABC的内角平分线,AD的延长线交△ABC的外接圆于点E.则AB·AC-BD·DC与AD²的关系是         (填“相等”或“不相等”).

第二试

一、(20分)求不定方程29a+30b+31c=2 196的正整数解.

二、(25分)在凸四边形ABCD中,E、F分别是边AB、AD上的点,EF∥BD,过点E作EM⊥CD于点M,过点F作FN⊥BC于点N,且EM、FN、AC相交于同一点G.求证:AC⊥BD.

三、(25分)在△ABC中,已知

.   求证: