2.2.1对数与对数运算（二）  学案

                         

学习目标：对数的运算性质．

熟练运用对数的运算性质进行化简求值；

学习重点：证明对数的运算性质．

学习难点：对数运算性质的证明方法与对数定义的联系．

学习过程

一、             复习

1．对数的定义    其中 与

2．指数式与对数式的互化

3.重要公式：

⑴负数与零没有对数；    ⑵，

⑶对数恒等式

4．指数运算法则

二、新授内容

1．积、商、幂的对数运算法则：

如果 a ＞ 0，a ¹ 1，M ＞ 0， N ＞ 0  有：

证明⑴：设M=p, N=q．    由对数的定义可以得：M=，N=．

∴MN= =     ∴MN=     ∴MN=p+q，  即证得MN=M + N．

证明⑵：设M=p，N=q．      由对数的定义可以得M=，N= ．

∴ ∴ ∴    即证得．

证明⑶：设M=P  由对数定义可以得M=,

∴＝  ∴=np，   即证得=nM．

说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式．

①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……

②有时逆向运用公式：如．

③真数的取值范围必须是：

  是否成立？   不成立

   是否成立？   不成立

④对公式容易错误记忆，要特别注意：

，．

2．讲授范例：

例1． 用，，表示下列各式：

（1）=      

 

 

（4）=

 

 

例2． 计算

（1）

（1）解：25= =2   （按照范例，求解（2）、（3）（4）题）

（2）=

 

（3）=

 

（4）=

 

例3．计算：

(1)     

(1)解： ＝＝

＝＝＝1；    （按照范例，求解（2）、（3）题）

 (2)           (3)  

 

 

 

 

 

评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.

例4．20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为  

 M＝lgA－lgA₀.

其中，A是被测地震的最大振幅，A₀是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).

(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；

(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).

解：（1）M＝lg20－lg0.001= lg=lg20000= lg2+ lg10⁴≈4.3

    因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.

   （2）由M＝lgA－lgA₀可得

              M＝lg <=>  =10^M  <=>  A= A₀ · 10^M

        当M=7.6时，地震的最大振幅为A₁= A₀·10^7.6 ；当M=5时，地震的最大振幅为

       A₂= A₀ · 10⁵，所以，两次地震的最大振幅之比是

       = ==≈ 398

   答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍。  

三、思考题：你能根据对数的定义推导出换底公式(a>0,且a≠1；c>0,且c≠1;b>0)吗?

 

 

 

运用换底公式化简下列各式：

(1)logc·loga

 

 

(2)log3·log4·log5·log2

 

 

(3)(log3+log3)(log2+log2)