《17．1 勾股定理》教学设计（第2课时）

一、内容和内容解析

 

1．内容

 

勾股定理的简单应用．

 

2．内容解析

 

勾股定理在教学中有非常重要的地位，定理本身也有重要的实际应用．根据勾股定理，已知两直角边的长，就可以求出斜边的长．即，根据算术平方根的意义，得到，这样就得出了斜边的长．由勾股定理还可以得到，，，类似地，我们得到．由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长．也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长．教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

 

基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用勾股定理解决简单的实际应用问题．

 

二、目标和目标解析

 

1．教学目标

 

（1）在探索并证明勾股定理的基础上，联系实际，归纳抽象，应用勾股定理解决实际问题；

 

（2）通过观察、分析、讨论、归纳的过程，提高学生的逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力；

 

 (3) 在解决问题过程中更好地理解勾股定理，培养学生学好数学的信心．

 

2．目标解析

 

（1）学生能通过独立思考，将实际问题抽象成数学问题；

 

（2）学生能遵循解决数学问题的一般方法，并在解题过程中自觉地运用数形结合的思想和分类讨论的思想．

 

 (3)学生能体会勾股定理的应用价值，通过自主探究与合作交流，激发数学学习的兴趣，树立学好数学的信心．

 

三、教学问题诊断分析

 

本节内容主要是在前面探究和证明勾股定理的基础上，对勾股定理进行简单的应用．由于目前所掌握的知识工具很有限，因此只能解决一些较简单的实际应用题．在应用勾股定理解题前，可以带领学生回顾三角形的相关知识，包括面积公式，特殊三角形的性质等；特别是直角三角形中，两锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半等重要结论，都是结合勾股定理解决应用问题的重要依据．教学时，应引导学生注意构造勾股定理的使用条件，在应用定理时关注数学结合和分类讨论的思想．

 

本节课的教学难点为：将实际问题转化为数学问题．

 

四、教学过程设计

 

1．复习提问回顾定理

 

问题1　勾股定理的内容是什么？有何用途？

 

师生活动　学生回答。

 

【设计意图】让学生回忆勾股定理的内容，并注意文字语言、图形语言、符号语言的规范统一．

 

2．例题示范，学会应用

 

例1 我们把满足的一组正数，叫做“勾股数”，请写出一组勾股数．

 

师生活动　教师提示，只要满足勾股定理中等量关系的三个正数，就可以叫做一组“勾股数”，学生自主发挥．

 

【设计意图】发挥学生自主性，通过对勾股定理的理解，进一步熟悉定理． 常见的勾股数有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17等等．熟悉这些常用的勾股数，在解决实际问题或在数学应用时，往往能简化运算，较快地估计出计算结果．

 

【设计意图】深刻理解勾股定理的内容，

 

例2         在中，，（1）已知，求；

 

（2）已知，求；

 

（3）已知，求；

 

（4）已知求．

 

师生活动　学生总结，师生共同补充、完善。要总结出：

 

（1）使用定理时，应先画好图形，应用数形结合的思想解题；

 

（2）理清边之间的关系，已知两直角边求斜边，直接用勾股定理，结合算术平方根的意义求出斜边；已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的变形式．

 

问题2 应用勾股定理需要满足什么条件？

 

师生活动 学生独立思考作答．

 

【设计意图】引导学生及时总结，应用勾股定理求解相关数学问题的步骤．

 

问题3 变式训练：在中，已知两边的长分别为3,4，求第三边的长．

 

师生活动 学生分析，计算，表达．教师分析条件，对学生答题情况进行点评．

 

【设计意图】提示学生考虑问题要全面，应学会从不同角度分析图形和条件，正确分类，全面作答．

 

例3  已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边的长．

 

师生活动   学生思考，教师指导

 

【设计意图】训练学生思考问题要全面，应破除思维定势，正确分类讨论．本题容易习惯性认为3、4、5是一组勾股数，而忽略了4是斜边的可能性．

 

例4  教科书第25页例1．

 

师生活动 学生独立思考后分组讨论．

 

问题4  请分析比较木板的尺寸和门的尺寸，如何判断木板能不能直接从门内通过？

 

（1）       如果木板长为3m，宽为0．8m，能否直接从门内通过？

 

（2）       如果木板长为3m，宽为1．5m，能否直接从门内通过？

 

追问 木板的短边比门的高还要长，是否一定不能通过？还可以分析比较哪两个长度？

 

再追问 这两个长度一个是木板的短边长，另一个是长方形的对角线的长，能求吗？如何求？

 

【设计意图】（1）本题可以转化为求门框的对角线的长，也就是已知两直角边求斜边，从而用勾股定理解决．

 

（2）细化问题，引导学生将实际问题转化为数学问题，并在转化的过程中，能对解题过程有所估计，构造定理成立的条件时能有的放矢．

 

例5  教材第25页例2．

 

师生活动 学生思考作答．

 

【设计意图】巩固性练习，本题涉及已知斜边和一直角边求另一直角边，也用勾股定理解决．

 

3．归纳小结，反思提高

 

（1）进一步了解勾股定理的含义．

 

（2）会用勾股定理解决简单的实际问题．

 

（3）体会数形结合的思想和分类讨论的思想．

 

4．布置作业：教科书第26页练习第1，2题；

 

教科书第28页习题17．1第3，4题．

 

五、目标检测设计

 

1．小明搬来一架2．5米长的木梯，准备把拉花挂在2．4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离为          ．

 

【设计意图】考查勾股定理简单的实际应用．转化为数学问题就是，已知直角三角形的斜边和一直角边的长，求另一直角边的长．

 

 

2．如图，直线l过正方形的顶点，点到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是         ．

 

【设计意图】综合应用勾股定理和直角三角形全等的知识解题．

 

3．有一个高为12cm，底面半径为3cm的圆柱，一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上的点A出发，沿着圆柱表面绕圆柱一周，爬至上底面圆周的B点处，问蚂蚁爬行的最短路程是多少？

 

【设计意图】考查勾股定理的应用．注意提示学生将圆柱体的侧面沿A点所在的母线展开，变成一个长方形，那么AB间的最短距离应为一个直角三角形的斜边，两直角边分别为圆柱体高和下底面的周长．问题转化为已知直角三角形两直角边，求斜边的问题，应用勾股定理可以求解．