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2015中考压轴题系列专题27:动态几何之单动点形成的面积问题
上传:gxda147369 审核发布:admin 更新时间:2015-8-11 11:24:41 点击次数:504次

数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题,以运动的观点探究几何图形的变化规律问题,称之为动态几何问题,随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中,伴随着出现一定的图形位置、数量关系的不变性的试题,就其运动对象而言,有点动、线动、面动三大类,就其运动形式而言,有轴对称(翻折)、平移、旋转(中心对称、滚动)等,就问题类型而言,有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要以静制动,即把动态问题,变为静态问题来解,而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题,可谓璀璨夺目、精彩四射。

   动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型,包括单动点形成的面积问题,双(多)动点形成的面积问题,线动形成的面积问题,面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。

在中考压轴题中,单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。

原创模拟预测题1. 某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究,已知AB=8.

问题思考:

如图1,点P为线段AB上的一个动点,分别以APBP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.

1)在点P运动时,这两个正方形面积之和是定值吗?如果时求出;若不是,求出这两个正方形面积之和的最小值.

2)分别连接ADDFAFAFDP于点A,当点P运动时,在APKADKDFK中,是否存在两个面积始终相等的三角形?请说明理由.

问题拓展:

3)如图2,以AB为边作正方形ABCD,动点PQ在正方形ABCD的边上运动,且PQ=8.若点P从点A出发,沿A→B→C→D的线路,向D点运动,求点PAD的运动过程中, PQ的中点O所经过的路径的长。

 (4)如图(3),在问题思考中,若点MN是线段AB上的两点,且AM=BM=1,点GH分别是边CDEF的中点.请直接写出点PMN的运动过程中,GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.

     

 

【答案】(1)当x=4时,这两个正方形面积之和有最小值,最小值为32

2)存在两个面积始终相等的三角形,图形见解析;

3PQ的中点O所经过的路径的长为

4)点O所经过的路径长为3OM+OB的最小值为

【解析】

试题解析:(1)当点P运动时,这两个正方形的面积之和不是定值.

AP=x,则PB=8-x

根据题意得这两个正方形面积之和=x2+8-x2=2x2-16x+64=2x-42+32

所以当x=4时,这两个正方形面积之和有最小值,最小值为32

2)存在两个面积始终相等的三角形,它们是APKDFK

依题意画出图形,如图所示.

AP=a,则PB=BF=8-a

PEBF

PK=

DK=PD-PK= a-=

SAPK=PK•PA=•a=SDFK=DK•EF=8-a=

SAPK=SDFK

所以PQ的中点O所经过的路径的长为:×2π×4=6π

4)点O所经过的路径长为3OM+OB的最小值为

如图,分别过点GOHAB的垂线,垂足分别为点RST,则四边形GRTH为梯形.

如图,作点M关于直线XY的对称点M′,连接BM′,与XY交于点O

由轴对称性质可知,此时OM+OB=BM′最小.

RtBMM′中,由勾股定理得:BM′=

OM+OB的最小值为

考点:四边形综合题

 

原创模拟预测题2. 如图,点P是以O为圆心,AB为直径的半圆上的动点,AB=2,设弦AP的长为x,△APO的面积为y,则当y=时,x的取值是【   

A. 1      B.        C. 1      D.

【答案】C

【考点】动点问题,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,等边三角形的判定和性质,含30度角直角三角形的性质,分类思想的应用。

故选C

原创模拟预测题3. 如图,菱形ABCD的边长为2,∠A=,动点P从点B出发,沿B-C-D的路线向点D运动设△ABP的面积为y (BP两点重合时,△ABP的面积可以看做0),点P运动的路程为x,则yx之间函数关系的图像大致为【   

A.       B.        C.       D.

【答案】C

【考点】动点问题的函数图象,菱形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,分类思想的应用。

【分析】PBC上运动时,如图1

∵△ABP的高 

∴△ABP的面积

PBC上运动时,如图2

故选C

                  

原创模拟预测题4. 如图,在矩形ABCD中,AB=3BC=4.动点P从点A出发沿AC向终点C运动,同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动,到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回.点PQ运动速度均为每秒1个单位长度,当点P到达点C时停止运动,点Q同时停止.连接PQ,设运动时间为tt >0)秒.

1)求线段AC的长度;

2)当点QBA运动时(未到达A),求APQ的面积S关于t的函数关系式,并写出t的取值范围;

3)伴随着PQ两点的运动,线段PQ的垂直平分线为l

①当l经过点A时,射线QPAD于点E,求AE的长;

②当l经过点B时,t的值.

【答案】(15  2     33t2.5

【解析】

试题分析:(1)在矩形ABCD中,         

APE∽△OPQ,得 

②(ⅰ)如图③,当点QBA运动时l经过点B

BQCPAPt,∠QBP=∠QAP  

∵∠QBP+∠PBC90°,∠QAP+∠PCB90°

∴∠PBC=∠PCB   CPBPAPt       

CPAPAC×52.5 ∴t2.5     

(ⅱ)如图④,当点QAB运动时l经过点B

考点:矩形、相似三角形

点评:本题考查矩形,相似三角形,要求考生掌握矩形的性质,相似三角形的判定方法,会判定两个三角形相似

 

 

原创模拟预测题5.如图,已知动点A在函数(x>o)的图象上,AB⊥x轴于点BAC⊥y轴于点C,延长CA至点D,使AD=AB,延长BA至点E,使AE=AC直线DE分别交x轴,y轴于点PQQEDP=4:9时,图中的阴影部分的面积等于      _

【答案】

【考点】反比例函数综合题,曲线上坐标与方程的关系,勾股定理,相似三角形的判定和性质。

【分析】过点DDG⊥x轴于点G,过点EEF⊥y轴于点F

图中阴影部分的面积=

原创模拟预测题6. 如图,在平面坐标系中,直线y=x+2x轴,y轴分别交于点A,点B,动点Pab)在第一象限内,由点Px轴,y轴所作的垂线PMPN(垂足为MN)分别与直线AB相交于点E,点F,当点Pab)运动时,矩形PMON的面积为定值2.当点EF都在线段AB上时,由三条线段AEEFBF组成一个三角形,记此三角形的外接圆面积为S1OEF的面积为S2试探究:是否存在最大值?若存在,请求出该最大值;若不存在,请说明理由

                                                              

【答案】存在。

四边形OAPN是矩形,OAF=EBO=45°

∴△AMEBNFPEF为等腰直角三角形。

E点的横坐标为aEa2a),

AM=EM=2a

AE2=22a2=2a28a+8

F的纵坐标为bF2bb),

BN=FN=2bBF2=22b2=2b28b+8

PF=PE=a+b2

EF2=2a+b22=2a2+4ab+2b28a8b+8

ab=2

EF2=2a2+2b28a8b+16

EF2=AE2+BF2

线段AEEFBF组成的三角形为直角三角形,且EF为斜边。

此三角形的外接圆的面积为

S2=S梯形OMPFSPEFSOME=PF+ON•PMPF•PEOM•EM

= [PFPMPE+OMPMEM]= PF•EM+OM•PE=PEEM+OM

=a+b2)(2a+a=a+b2

m=a+b2,则

时,有最大值最大值为

【考点】单动点问题,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理和逆定理,二次函数的性质,偶次幂的非负性质,转换思想的应用。


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