空间点、直线、面的位置关系（提高训练）

1、若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的

（A）充分非必要条件；       （B）必要非充分条件；

（C）充要条件；             （D）非充分非必要条件．

答案：A

解析：利用公理2。

2、设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是

A．  B． 

C． D．

答案；B

解析：平行于β，m垂直于则m平行于β。

3、如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。

求证：ED为异面直线与的公垂线；

证明：设O为AC中点，连接EO，BO，则EO2(1)C1C，

又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．

∵AB＝BC，∴BO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC1A1，   BO面ABC，   故BO⊥平面ACC1A1，

∴ED⊥平面ACC1A1，   ED⊥AC1，     ED⊥CC1，

∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线。

4、如图，正三棱柱ABC—的底面边长的3，侧棱=D是CB延长线上一点，且BD=BC.

   求证：直线//平面

解析：CD//C1B1，又BD=BC= ， ∴ 四边形BD是平行四边形， ∴//.

又平面， 平面，∴直线//平面。

5、有一矩形纸片ABCD，AB=5，BC=2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=CF=1，把纸片沿EF折成直二面角．

（1）求BD的距离；

（2）求证AC，BD交于一点且被这点平分．

分析：将平面BF折起后所补形成长方体AEFD-A1BCD1，则BD恰好是长方体的一条对角线．

解析：（1）因为AE，EF，EB两两垂直，

所以BD恰好是以AE，EF，EB为长、宽、高的长方体的对角线，

（2）证明：因为AD EF，EF BC，所以AD BC．

所以ACBD在同一平面内，

且四边形ABCD为平行四边形．

所以AC、BD交于一点且被这点平分。

6、已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点,△ABC，△PEF

都是正三角形，PF⊥AB.

   （Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；

   （Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；

   （Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的

         球面上，求△ABC的边长.

解析：本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法。

（Ⅰ）证明： 连结CF.

  （Ⅱ）解法一：

为所求二面角的平面角. 设AB=a，则AB=a，则

。

解法二：设P在平面ABC内的射影为O. ≌≌

得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 为所求二面角的平面角.

设AB=a，则    

（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R. 

，的边长为。