1.2　应用举例(二)

自主学习

 知识梳理

1．在△ABC中，有以下常用结论：

(1)a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b；

(2)a>b⇔____________⇔____________；

(3)A＋B＋C＝π，2(A＋B)＝2(π)－2(C)；

(4)sin(A＋B)＝________，cos(A＋B)＝________，

sin 2(A＋B)＝____________，cos 2(A＋B)＝____________.

2．在锐角△ABC中，A＋B>2(π)⇔A>2(π)－B⇔sin A____cos B⇔cos A____sin B.

3．三角形常用面积公式

(1)S＝____________(ha表示a边上的高)；

(2)S＝2(1)absin C＝____________＝____________；

(3)S＝4R(abc)(可由正弦定理推得)；

(4)S＝2R2sin A·sin B·sin C(R是三角形外接圆半径)；

(5)S＝2(1)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．

 自主探究

在平面几何中，平行四边形的四边长的平方和等于两条对角线长的平方和．你能利用余弦定理加以证明吗？

 

对点讲练

知识点一　证明平面几何有关定理

 

例1　一条直线上有三点A，B，C，点C在点A与B之间，P是此直线外一点，设∠APC＝α，∠BPC＝β.求证：PC(sin(α＋β))＝PB(sin α)＋PA(sin β).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

总结　面积法是证明平面几何问题的常用方法之一．面积等式S△ABP＝S△APC＋S△BPC是证明本题的关键．

变式训练1　在△ABC中，AC边上的角平分线BD交AC边于点D.求证：BC(BA)＝DC(AD).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

知识点二　计算平面图形中线段的长度

 

例2　如图所示，

已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

总结　在解三角形时，有些复杂的问题常常需要将正弦定理、余弦定理交替使用，尽管有时不是直接求出结果，但为了过渡，也是很有必要的，本例先求BD就起到了这样的作用．

变式训练2　已知△ABC，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，求证：△ABC中，a边上的中线MA＝2(1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

知识点三　计算平面图形的面积

 

例3　

如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．

(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；

(2)求S的最大值及此时θ角的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

总结　本题将四边形面积转化为三角形面积问题，将实际问题转化为数学问题，是转化与化归思想的应用．

变式训练3　已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解有关三角形中的三角函数问题．

2．利用正弦定理、余弦定理解决几何问题时，关键在于找出图形中的边角的关系式，即将有关几何关系转化为三角形中的边角关系，再利用正弦定理、余弦定理求出有关量. 

 

课时作业

一、选择题

1．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为3(1)，则其外接圆的直径为(　　)

A.2(2)   B.4(2)   C.8(2)   D．9

2．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于(　　)

A.   B.   C.   D.

3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，如果2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面积为2(3)，那么b等于(　　)

A.2(3)   B．1＋   C.2(3)   D．2＋

4．平行四边形中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形的面积是(　　)

A．16   B．172(1)   C．18   D．18.53

5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝8(7)，则△ABC的面积S为(　　)

A.2(15)   B.

C.5(15)   D．6

题　号	1	2	3	4	5
答　案

二、填空题

6．△ABC中，已知∠A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10，则其周长为________．

7．钝角三角形的三边为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________．

8．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．

三、解答题

9.

已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且∠D＝60°，试求四边形ABCD的面积．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acos B＝3，bsin A＝4.

(1)求边长a；

(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§1.2　应用举例(二)

知识梳理

1．(2)A>B　sin A>sin B　(4)sin C　－cos C

cos 2(C)　sin 2(C)

2．>　<

3．(1)2(1)aha　(2)2(1)acsin B　2(1)bcsin A

自主探究

证明　在△BAD内：

BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos ∠BAD

在△ABC内：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC

∵∠ABC＋∠BAD＝180°，

∴cos∠ABC＋cos∠BAD＝0.

∴BD2＋AC2＝2AB2＋AD2＋BC2，

即：AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.

对点讲练

例1　证明　∵S△ABP＝S△APC＋S△BPC

∴2(1)PA·PBsin(α＋β)

＝2(1)PA·PCsin α＋2(1)PB·PCsin β

两边同除以2(1)PA·PB·PC，得PC(sin(α＋β))＝PB(sin α)＋PA(sin β).

∴PC(sin (α＋β))＝PB(sin α)＋PA(sin β).

变式训练1　证明　如图所示，在△ABD中，利用正弦定理，AD(AB)＝sin∠ABD(sin∠ADB).①

在△CBD中，利用正弦定理，

 

CD(BC)＝sin∠DBC(sin∠BDC).②

∵BD是角B的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，

又∵∠ADB＋∠CDB＝180°，

∴sin∠ADB＝sin∠CDB，

所以①－②，得AD(AB)＝CD(BC).即BC(BA)＝DC(AD)成立. 

例2　解　设BD＝x，在△ABD中，

由余弦定理有

AB2＝BD2＋AD2－2AD·BD·cos∠ADB，

即142＝x2＋102－20xcos 60°，

∴x2－10x－96＝0，

∴x＝16(x＝－6舍去)，即BD＝16.

在△BCD中，

由正弦定理sin∠CDB(BC)＝sin∠BCD(BD)，

∴BC＝sin 135°(16sin 30°)＝8.

变式训练2　证明　如图所示：

BM＝MC＝2(a).

在△ABM中，由余弦定理得：

c2＝MA2＋2(a)2－2MA2(a)·cos∠AMB.

在△ACM中，由余弦定理得：

b2＝MA2＋2(a)2－2MA2(a)cos∠AMC

∵cos∠AMB＋cos∠AMC＝0，

以上两式相加，得：b2＋c2＝2MA2＋2(a2).

即MA2＝2(1)b2＋2(1)c2－4(1)a2，

∴MA＝2(1).

例3　解　(1)△ABD的面积

S1＝2(1)×1×1×sin θ＝2(1)sin θ，

由于△BDC是正三角形，所以△BDC的面积S2＝4(3)BD2.

而在△ABD中，由余弦定理可知：

BD2＝12＋12－2×1×1×cos θ＝2－2cos θ.

于是四边形ABCD的面积S＝2(1)sin θ＋4(3)(2－2cos θ)，

∴S＝2(3)＋sin3(π)，0<θ<π.

(2)由S＝2(3)＋sin3(π)及0<θ<π，

得－3(π)<θ－3(π)<3(2π).

当θ－3(π)＝2(π)时，即θ＝6(5π)时，S取得最大值1＋2(3).

变式训练3　解　

连接BD，则四边形面积

S＝S△ABD＋S△CBD＝2(1)AB·ADsin A＋2(1)BC·CDsin C.

∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C.

∴S＝2(1)(AB·AD＋BC·CD)·sin A＝16sin A.

由余弦定理：在ABD中，

BD2＝22＋42－2·2·4cos A＝20－16cos A，

在△CDB中，BD2＝52－48cos C，

∴20－16cos A＝52－48cos C.

又cos C＝－cos A，

∴cos A＝－2(1).∴A＝120°.∴S＝16sin A＝8.

课时作业

1．B　2.B　3.B　4.A　5.A

6．20

解析　设AB＝8k，AC＝5k，k>0，

则S＝2(1)AB·AC·sin A＝10k2＝10.

∴k＝1，AB＝8，AC＝5，

由余弦定理：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A

＝82＋52－2×8×5×2(1)＝49.

∴BC＝7，

∴周长为AB＋BC＋CA＝20.

7.2(3)≤a<3

解析　由2(1)，解得2(3)≤a<3.

8.5(27π)

解析　不妨设a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得：

cos A＝2bc(b2＋c2－a2)＝2×12×12(122＋122－62)＝8(7)，

∴sin A＝ 2(7)＝8(15).

由2(1)(a＋b＋c)·r＝2(1)bcsin A

得r＝5(15).

∴S内切圆＝πr2＝5(27)π.

9．解　连结AC，在△ACD中，

由AD＝6，CD＝4，∠D＝60°，

可得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠D

＝62＋42－2×4×6cos 60°＝28，

在△ABC中，由AB＝2，BC＝4，AC2＝28，

可得cos∠B＝2AB·BC(AB2＋BC2－AC2)

＝2×2×4(22＋42－28)＝－2(1).

又0°

所以四边形ABCD的面积

S＝S△ACD＋S△ABC

＝2(1)AD·CDsin∠D＋2(1)AB·BCsin∠B

＝2(1)×4×6sin 60°＋2(1)×2×4sin 120°＝8.

 

10.

解　(1)如图，在△ABC中，作CD⊥AB，垂足为D.

∵acos B＝3>0，

∴02(π)，

D在线段AB上．

由acos B＝3，bsin A＝4，得BD＝3，CD＝4.

在Rt△ABC中，a＝＝5.

(2)由△ABC的面积S＝10，得2(1)bcsin A＝10.

∵bsin A＝4，∴c＝5.于是，AD＝2.

在Rt△ACD中，

b＝＝2.

∴△ABC的周长l＝5＋5＋2＝10＋2.