数学奥林匹克初中训练题5

第一试

一、选择题(每小题7分，共42分)

1.若方程x²-3x+1=0的两根也是程x⁴-px²+q=0的根，则(p+q)²⁰⁰⁸的个位数字是(    ).

(A)2      (B)4     (C)6     (D)8

2.函数y= (其中，a、b为非零常数)取得最大值的条件是(    ).

(A)a²-4b≥0      (B)a²-4b≠0　　　　　(C)a²-4b<0    (D)与a、b取值有关，不能确定

3.设△ABC的内切圆半径为r，BC=a，AC=b，AB=c，且其上的高分别为h_a、h_b、h_c，满足h_a+h_b+h_c=9r.则△ABC的形状(    ).

(A)一定是钝角三角形       (B)一定是等边三角形

(C)一定不是锐角三角形     (D)不一定是直角三角形

4.若三个互不相等的非零实数x、y、z，满足关系式x(y-z)=，则q的取值为(    ).

(A)     (B)     (C)      (D)

5.若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均为整数，则符合这样条件的直角三角形共有(    )个.

(A)1         (B)6        (C)4        (D)无数多

6.如图，在△ABC中，∠A>∠B>∠C，I是内心.现给出三条路线:

①I→A→C→B→I;②I→C→B→A→I; ③I→B→A→C→I.

若记它们的长度分别为l₁、l₂、l₃，则其中最短的是(    ).

(A)l₁       (B)l₂      (C)l₃      (D)不能确定

二、填空题(每小题7分，共28分)

1.已知则z-y的值等于        .

2.如图，在四边形ABCD中，AB=10，BC=17，CD=13，DA=20，AC=21.则BD=        .

3.一个三位数xyz(其中，x、y、z互不相等)，将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数.若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，则这个三位数是        .

4.如图，在等腰Rt△ABC(∠C=90°)内取一点P，

且AP=AC=a，BP=CP=b(a>b).则=        .

第二试

一、(20分)若一直角三角形两直角边的长a、b(a≠b)均为整数，且满足.试求这个直角三角形的三边长.

二、(25分)如图4，已知⊙O与△ABC的边AB、AC分别相切于点P、Q，与△ABC的外接圆相切于点T.设切点弦PQ的中点为I.求证:IT平分∠BTC.

三、(25分)已知x³₁+x³₂+…+x³₈-x³₉的个位数字是1，其中，x₁，x₂，…，x₉是2 001，2 002，…，2 009中的九个不同的数，且8x⁹>x₁+x₂+…+x₈.求x₉的值.